Знайти область затіненої області?

Відповідь:

Дивіться нижче.

Пояснення:

Коли ми вперше навчаємося шукати ділянки шляхом інтеграції, ми беремо репрезентативні прямокутники по вертикалі.

Прямокутники мають основу # dx # (невелика зміна в # x #) і висот, рівних більшому # y # (на верхній кривій) мінус менший # y # значення (на нижній кривій). Потім ми інтегруємося з найменших # x # величиною # x # значення.

Для цієї нової проблеми ми могли б використовувати дві такі інтеграли (див. Відповідь Джима S), але дуже важливо навчитися перетворювати наше мислення #90^@#.

Ми візьмемо представницькі прямокутники horiontally.

Прямокутники мають висоту # dy # (невелика зміна в # y #) і підстав, рівних більшим # x # (на правому кривому мінусі) мінус менший # x # значення (на лівій кривій). Потім ми інтегруємося з найменших # y # величиною # y # значення.

Зверніть увагу на подвійність

# {:("вертикальний", "iff", "горизонтальний"), (dx, iff, dy), ("верхній", iff, "крайній праворуч"), ("нижній", iff, "крайній лівий"), (x, iff, y):} #

Фраза «від найменших» # x # величиною # x # ". Вказує, що ми інтегруємо зліва направо. (У напрямку збільшення # x # значення.)

Фраза «від найменших» # y # величиною # y # ". Вказує, що ми інтегруємо знизу вгору. (У напрямку збільшення # y # значення.)

Ось зображення області з невеликим прямокутником:

Район є

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Відповідь:

Площа затіненої області є # 1m ^ 2 #

Пояснення:

# x = 1 / y ^ 2 #

# y ^ 2 = 1 / x #

# y = sqrtx / x # (ми можемо бачити з графіка)

# sqrtx / x = x # #<=># # x ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# x ^ 4-x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # x = 1 # (ми також можемо бачити з графіка)

Одним із способів вираження області затіненої області може бути область трикутника # AhatOB = # за винятком зони блакитного, яку я називатиму #color (блакитний) (Ω_3) #

Дозволяє #Ω_1# чорна область, показана на графіку #color (зелений) (Ω_2) # зелену область, показану на графіку.

Площа маленького трикутника # ChatAD = # #color (зелений) (Ω_2) # буде:

• #color (зелений) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# sqrtx / x = 2 # #<=># # sqrtx = 2x # #<=># # x = 4x ^ 2 #

#<=># # x = 1/4 #

Площа Росії #Ω_1# буде:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-кв (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

В результаті буде заштрихована область

• #Ω_1## + колір (зелений) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1m ^ 2 #