Як спростити (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

Відповідь:

# cos ^ 5x #

Пояснення:

Цей тип проблеми дійсно не так вже й погано, як тільки ви визнаєте, що вона включає в себе невелику алгебру!

По-перше, я перепишу даний вираз, щоб зробити наступні кроки більш легкими для розуміння. Ми знаємо це # sin ^ 2x # це просто простіше писати # (sin x) ^ 2 #. Аналогічно # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

Тепер ми можемо переписати оригінальний вираз.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

Тепер ось частина, що включає алгебру. Дозволяє #sin x = a #. Ми можемо написати # (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 # як

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

Чи виглядає це звичним? Нам просто потрібно це врахувати! Це ідеальний квадратний трином. З # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, можна сказати

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Тепер поверніться до початкової ситуації. Повторно замінити #sin x # для # a #.

# (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (колір (синій) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

Тепер ми можемо використовувати тригонометричну ідентичність для спрощення термінів у синьому кольорі. Перестановка ідентичності # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, ми отримуємо #color (синій) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (колір (синій) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Як тільки ми це квадратний, негативні знаки множиться, щоб стати позитивним.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = cos ^ 5x #

Таким чином, # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.