Вирішіть e ^ x-lnx <= e / x?

Відповідь:

тому вирішення цієї нерівності робить її істинною #x in (0.1) #

Пояснення:

розглянути #f (x) = e ^ x-lnx-e / x #,ми маємо

#f '(x) = e ^ x-1 / x + e / x ^ 2 #

стверджують, що #f '(x)> 0 # для всіх реальних х і висновок відзначити, що #f (1) = 0 #

#f (1) = e-ln1-e = 0 #

розглянемо межу f як x переходить до 0

#lim_ (xrarr0) e ^ x-lnx-e / x #

#lim_ (xrarr0 ^ +) e ^ x-lnx-e / x = -oo #

Іншими словами, показуючи #f '(x)> 0 # ви показуєте, що функція строго зростає, і якщо #f (1) = 0 # це означає, що #f (x) <0 #

для #x <1 # тому що функція завжди зростає.

з визначення # lnx #

# lnx # визначається для кожного #x> 0 #

з визначення # e ^ x #

# e ^ x # визначається для кожного #x> = 0 #

але # e / x = e / 0 # undefined

тому вирішення цієї нерівності робить її істинною #x in (0.1) #