Функція f (x) = sin (3x) + cos (3x) є результатом ряду перетворень, першим з яких є горизонтальний переклад функції sin (x). Яке з них описує першу трансформацію?

Відповідь:

Ми можемо отримати графік # y = f (x) # від # ysinx # шляхом застосування таких перетворень:

• горизонтальний переклад # pi / 12 # радіани ліворуч

• простягаються разом # Ox # з масштабним коефіцієнтом #1/3# одиниць

• простягаються разом # Oy # з масштабним коефіцієнтом #sqrt (2) # одиниць

Пояснення:

Розгляньте функцію:

# f (x) = sin (3x) + cos (3x) #

Припустимо, що ми можемо записати цю лінійну комбінацію синуса і косинуса як функцію синуса з однофазним зсувом, тобто припустимо:

# f (x) - = Asin (3x + alpha) #

= A {sin3xcosalpha + cos3xsinalpha} #

# Acosalpha sin3x + Asinalphacos3x # t

У цьому випадку шляхом порівняння коефіцієнтів # sin3x # і # cos3x # ми маємо:

# Acos alpha = 1 t і Asinalpha = 1 #

За допомогою квадратури та додавання ми маємо:

# A ^ 2cos ^ 2alpha + A ^ 2sin ^ 2alpha = 2 => A ^ 2 = 2 => A = sqrt (2) #

Поділяючи, ми маємо:

# tan alpha => alpha = pi / 4 #

Таким чином ми можемо написати, #f (x) # у формі:

# f (x) - = sin (3x) + cos (3x) #

= sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #

= sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) #

Таким чином, ми можемо отримати графік # y = f (x) # від # ysinx # шляхом застосування таких перетворень:

• горизонтальний переклад # pi / 12 # радіани ліворуч
• простягаються разом # Ox # з масштабним коефіцієнтом #1/3# одиниць
• простягаються разом # Oy # з масштабним коефіцієнтом #sqrt (2) # одиниць

Що ми можемо побачити графічно:

Графік # y = sinx #:

graph {sinx -10, 10, -2, 2}

Графік # y = sin (x + pi / 12) #:

graph {sin (x + pi / 12) -10, 10, -2, 2}

Графік # y = sin (3 (x + pi / 12)) = sin (3x + pi / 4) #:

graph {sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

Графік # y = sqrt (2) sin (3 (x + pi / 12)) = sqrt (2) sin (3x + pi / 4) #:

graph {sqrt (2) sin (3x + pi / 4) -10, 10, -2, 2}

І, нарешті, графік вихідної функції для порівняння:

граф {sin (3x) + cos (3x) -10, 10, -2, 2}