Чому квадратний корінь з 5 є ірраціональним числом?

Відповідь:

Див. Пояснення …

Пояснення:

Ось нарис докази за протиріччям:

Припустимо #sqrt (5) = p / q # для деяких натуральних чисел # p # і # q #.

Без втрати спільності ми можемо припустити, що #p, q # це найменші такі числа.

Тоді за визначенням:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Помножте обидва кінці на # q ^ 2 # отримати:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Тому # p ^ 2 # ділиться на #5#.

Потім з тих пір #5# просто, # p # повинні бути ділими на #5# теж.

Тому #p = 5 м # для деякого натурального числа # m #.

Тому ми маємо:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5 м) ^ 2 = 5 * 5 * м ^ 2 #

Розділіть обидва кінці на #5# отримати:

# q ^ 2 = 5 м ^ 2 #

Розділіть обидва кінці на # m ^ 2 # отримати:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Тому #sqrt (5) = q / m #

Тепер #p> q> m #, тому #q, m # є меншою парою цілих чисел, чий фактор є #sqrt (5) #, що суперечить нашій гіпотезі.

Отже, наша гіпотеза #sqrt (5) # може бути представлена # p / q # для деяких цілих чисел # p # і # q # є помилковим. Це, #sqrt (5) # не раціонально. Це, #sqrt (5) # є ірраціональним.