Які рішення (z-1) ^ 3 = 8i?

Відповідь:

#z у {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Пояснення:

Для цієї проблеми нам потрібно знати, як знайти # n ^ "th" # коріння комплексного числа. Для цього ми будемо використовувати ідентифікацію

# e ^ (itheta) = cos (тета) + isin (тета) #

Завдяки цій ідентичності ми можемо представляти будь-яке комплексне число як

# a + bi = Re ^ (itheta) # де #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # і #theta = arctan (б / а) #

Тепер ми переходимо до кроків, щоб знайти # 3 ^ "rd" # коріння комплексного числа # a + bi #. Кроки для пошуку # n ^ "th" # коріння подібні.

Дано # a + bi = Re ^ (itheta) # ми шукаємо всі складні числа # z # такий, що

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Як # z # є комплексне число, існує # R_0 # і # theta_0 # такий, що

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Потім

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Від цього ми відразу маємо # R_0 = R ^ (1/3) #. Ми також можемо прирівняти експонентів # e #, але відзначаючи, що як синус, так і косинус є періодичними з періодом # 2pi #, потім з оригінальної ідентичності, # e ^ (itheta) # буде також. Тоді ми маємо

# 3itheta_0 = i (тета + 2пік) # де #k у ZZ #

# => theta_0 = (тета + 2пік) / 3 # де #k у ZZ #

Втім, як би ми продовжуємо додавати # 2pi # знову і знову, ми в кінцевому підсумку з тими ж значеннями, ми можемо ігнорувати надлишкові значення, додаючи обмеження # theta_0 у 0, 2pi) #, це, #k у {0, 1, 2} #

Поклавши все це разом, ми отримуємо набір рішень

#z у {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((тета + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (theta + 4pi) / 3)} #

Ми можемо перетворити це назад # a + bi # форму, якщо бажано, використовуючи ідентичність

# e ^ (itheta) = cos (тета) + isin (тета) #

Застосовуючи вищезгадану проблему до проблеми:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Використовуючи вищеописаний процес, ми можемо знайти # 3 ^ "rd" # коріння # i #:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) у {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

Застосування # e ^ (itheta) = cos (тета) + isin (тета) # ми маємо

# i ^ (1/3) у {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Нарешті, ми підставимо ці значення для #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z в {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #