Який нахил дотичної лінії r = (sin ^ 2theta) / (- thetacos ^ 2theta) при тета = (pi) / 4?

Відповідь:

Схил є #m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #

Пояснення:

Ось посилання на дотичні з полярними координатами

З посиланням отримуємо наступне рівняння:

# dy / dx = (dr) / (d тета) sin (тета) + rcos (тета)) / ((dr) / (d theta) cos (тета) - rsin (тета)) #

Нам потрібно обчислити # (dr) / (d theta) # але будь ласка, дотримуйтесь цього #r (theta) # можна спростити за допомогою ідентичності #sin (x) / cos (x) = tan (x) #:

#r = -tan ^ 2 (тета) / тета #

# (dr) / (d тета) = (g (тета) / (h (тета))) '= (g' (тета) h (тета) - h '(тета) g (тета)) / (h (тета)) ^ 2 #

#g (тета) = -тань ^ 2 (тета) #

#g '(theta) = -2tan (theta) sec ^ 2 (тета) #

#h (тета) = тета #

#h '(theta) = 1 #

# (dr) / (d theta) = (-2thetatan (тета) sec ^ 2 (тета) + tan ^ 2 (тета)) / (тета) ^ 2 #

Давайте оцінюємо це вище # pi / 4 #

# sec ^ 2 (pi / 4) = 2 #

#tan (pi / 4) = 1 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) / (pi / 4) ^ 2 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) (16 / (pi ^ 2)) #

#r '(pi / 4) = (16- 16pi) / (pi ^ 2) #

Оцініть r at # pi / 4 #:

#r (pi / 4) = -4 / pi = - (4pi) / pi ^ 2 #

Примітка: Я зробив вищезгаданий знаменник # pi ^ 2 # так що це було спільно з знаменником Росії # r '# і, таким чином, буде скасовано, коли ми покладемо їх у наступне рівняння:

# dy / dx = (dr) / (d тета) sin (тета) + rcos (тета)) / ((dr) / (d theta) cos (тета) - rsin (тета)) #

У # pi / 4 # синуси і косинуси рівні, тому вони скасують.

Ми готові написати рівняння для нахилу, m:

#m = (16 - 16pi + -4pi) / (16 - 16pi - -4pi) #

#m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #