Як ви знайдете межу [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)], коли x наближається до 0?

Відповідь:

Виконайте деяке спряжене множення і спрощуйте отримання #lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

Пояснення:

Пряме заміщення дає невизначену форму #0/0#, тому нам доведеться спробувати щось інше.

Спробуйте помножити # (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # від # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Ця методика відома як сполучене множення, і вона працює майже кожного разу. Ідея полягає у використанні різниці властивостей квадратів # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # спростити або чисельник, або знаменник (в даному випадку знаменник).

Нагадаємо, що # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #або # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Тому ми можемо замінити знаменник, який є # 1-cos ^ 2x #, с # sin ^ 2x #:

# ((sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Тепер # sin ^ 2x # скасовує:

# ((sinx) (скасувати (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (скасувати (sin ^ 2x)) #

# = (sinx) (1 + cosx) #

Закінчити, взявши межа цього виразу:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#