Чи може функція бути безперервною і недиференційованою по даній області?

Відповідь:

Так.

Пояснення:

Одним з найбільш яскравих прикладів цього є функція Вейерштрасса, відкрита Карлом Вейерштрассом, яку він визначив у своєму оригінальному документі як:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

де # 0 <a <1 #, # b # є позитивним непарним цілим і #ab> (3pi + 2) / 2 #

Це дуже колюча функція, яка неперервна скрізь на реальній лінії, але ніде не диференціюється.

Відповідь:

Так, якщо вона має "вигнуту" точку. Одним з прикладів є #f (x) = | x | # в # x_0 = 0 #

Пояснення:

Безперервна функція практично означає малювати її, не виймаючи олівця з паперу. Математично це означає, що для будь-якого # x_0 # значення #f (x_0) # як вони підходять з нескінченно малим # dx # ліворуч і праворуч має бути рівним:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

де знак мінуса означає наближення з лівого, а знак "плюс" означає наближення з правого боку.

Диференційована функція практично означає функцію, яка неухильно змінює свій нахил (НЕ з постійною швидкістю). Отже, функція, недиференційована в даній точці, практично означає, що вона різко змінює свій нахил зліва від цієї точки праворуч.

Розглянемо 2 функції.

#f (x) = x ^ 2 # в # x_0 = 2 #

Графік

графік {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}

Графік (збільшений)

графік {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Оскільки в # x_0 = 2 # граф може бути сформований без зняття олівця з паперу, функція безперервна в цій точці. Оскільки вона не зігнута в цій точці, вона також диференційована.

#g (x) = | x | # в # x_0 = 0 #

Графік

графік {absx -10, 10, -5.21, 5.21}

У # x_0 = 0 # функція є безперервною, оскільки її можна намалювати, не знімаючи олівцем з паперу. Однак, оскільки вона зігнута в цій точці, функція не є диференційованою.