Відповідь:
Робіть багато алгебри після застосування обмеження визначення, щоб знайти, що нахил в # x = 3 # є #13#.
Пояснення:
Лімітне визначення похідної:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #
Якщо оцінити цей ліміт для # 3x ^ 2-5x + 2 #, ми отримаємо вираз для похідної цієї функції. Похідна - просто нахил дотичної лінії в точці; таким чином оцінюючи похідну на # x = 3 # дасть нам нахил дотичної лінії при # x = 3 #.
Зазначивши це, давайте почнемо:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + h) + 2- (3x ^ 2-5x + 2) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (скасувати (3x ^ 2) + 6hx + 3h ^ 2-cancel (5x) -5h + скасувати (2) -призупинити (3x ^ 2) + скасувати (5x)) -припинити (2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (6hx + 3h ^ 2-5h) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (скасувати (h) (6x + 3h-5)) / скасувати (h) #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) 6x + 3h-5 #
Оцінка цього обмеження на # h = 0 #, #f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Тепер, коли у нас є похідна, нам просто потрібно підключити # x = 3 # знайти там нахил дотичної лінії:
#f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Відповідь:
Див. Розділ пояснення нижче, якщо ваш викладач / підручник використовує #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #
Пояснення:
Деякі презентації обчислення використовують для визначення нахилу лінії, дотичної до графіка #f (x) # в точці, де # x = a # є #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # за умови, що ліміт існує.
(Наприклад, 8-е видання Джеймса Стюарта Обчислення 106. На сторінці 107 він дає еквівалент #lim_ (hrarr0) (f (a + h) -f (a)) / h #.)
З цим визначенням нахил дотичної лінії до графіка #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # в точці, де # x = 3 # є
#lim_ (xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) +2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Зауважимо, що ця межа має невизначену форму #0/0# оскільки #3# є нулем полінома в чисельнику.
З #3# це нуль, ми це знаємо # x-3 # є фактором. Отже, ми можемо знов оцінити, зменшити і спробувати оцінити.
# = lim_ (xrarr3) (скасувати ((x-3)) (3x + 4)) / скасувати ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
Межа #13#, тому нахил дотичної лінії на # x = 3 # є #13#.
