Який сенс межі функції?

Відповідь:

Заява #lim_ (x a) f (x) = L # означає: як # x # наближається # a #, #f (x) # наближається # L #.

Пояснення:

Точне визначення:

Для будь-якого реального числа #ε>0#, існує інше реальне число #δ>0# таке, що якщо # 0 <| x-a |<>, потім # | f (x) -L |<>.

Розглянемо цю функцію #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

Якщо побудувати графік, це виглядає так:

Ми не можемо сказати, в якій вартості # x = 1 #, але виглядає так #f (x) # підходи #2# як # x # підходи #1#.

Спробуємо це показати #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

Питання в тому, звідки ми потрапимо # 0 <| x-1 |<> до # | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | <>?

Ми повинні почати з певної цінності #ε# а потім знайдіть відповідне значення для #δ#.

Почнемо з

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = | ((x + 1) (x-1)) / (x-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

Іншою умовою є

# | x-1 | <δ #

Визначення відповідає точно, якщо #δ = ε#.

Ми щойно показали це #ε#, є a #δ# так що # | f (x) 2 |<> коли # 0 <| x 1 |<>.

Тому ми це показали

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #