Що таке інверсія f (x) = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3)?

Відповідь:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Пояснення:

Припускаючи, що ми маємо справу # log_3 # як реальна цінна функція і зворотна # 3 ^ x #, то домен #f (x) # є # (3, oo) #, оскільки ми вимагаємо #x> 3 # для того щоб # log_3 (x-3) # бути визначені.

Дозволяє #y = f (x) #

# = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) #

# = - 3 log_3 (x) -3 log_3 (x-3) #

# = - 3 (log_3 (x) + log_3 (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x ^ 2-3x) #

# = - 3 log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Потім:

# -y / 3 = log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Тому:

# 3 ^ (- y / 3) = (x-3/2) ^ 2-9 / 4 #

Тому:

# 3 ^ (- y / 3) +9/4 = (x-3/2) ^ 2 #

Тому:

# x-3/2 = + -sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) #

Фактично, це повинен бути позитивний квадратний корінь, оскільки

# x-3/2> 3-3 / 2> 0 #

Тому:

#x = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Звідси:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #