Для f (x) = xsin ^ 3 (x / 3), що є рівнянням дотичної лінії при x = pi?

Відповідь:

# y = 1.8276x-3.7 #

Пояснення:

Ви повинні знайти похідну:

#f '(x) = (x)' sin ^ 3 (x / 3) + x * (sin ^ 3 (x / 3)) '#

У цьому випадку похідна тригонометричної функції фактично є комбінацією 3 елементарних функцій. Це:

# sinx #

# x ^ n #

# c * x #

Те, як це буде вирішено, є таким:

# (sin ^ 3 (x / 3)) '= 3sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3))' = #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) (x / 3) '= #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) * 1/3 = #

# = sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

Тому:

#f '(x) = 1 * sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 3 (x / 3) + x * sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3) + xcos (x / 3)) #

Виведення дотичного рівняння:

#f '(x_0) = (y-f (x_0)) / (x-x_0) #

#f '(x_0) * (x-x_0) = y-f (x_0) #

# y = f '(x_0) * x-f' (x_0) * x_0 + f (x_0) #

Підставляючи такі значення:

# x_0 = π #

#f (x_0) = f (π) = π * sin ^ 3 (π / 3) = 2,0405 #

#f '(x_0) = f' (π) = sin ^ 2 (π / 3) * (sin (π / 3) + πcos (π / 3)) = 1.8276 #

Отже, рівняння стає:

# y = 1.8276x-1.8276 * π + 2.0405 #

# y = 1.8276x-3.7 #

На графіку нижче ви можете побачити це на # x = π = 3.14 # дотична дійсно зростає і перетинатиме ось y'y в #y <0 #

графік {x (sin (x / 3)) ^ 3 -1.53, 9.57, -0.373, 5.176}