Що таке межа, коли t наближається до 0 (tan6t) / (sin2t)?

#lim_ (tt> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. Ми визначаємо це, використовуючи Правило L'hospital.

Перефразовуючи, правило L'Hospital стверджує, що коли дається межа форми #lim_ (t a) f (t) / g (t) #, де #f (a) # і #g (a) # є значеннями, які призводять до невизначеності межі (найчастіше, якщо обидві 0, або якась форма,), то до тих пір, поки обидві функції є неперервними і диференційованими в і в околиці # a, # це можна стверджувати

#lim_ (t a) f (t) / g (t) = lim_ (t a) (f '(t)) / (g' (t)) #

Або словами, межа частки двох функцій дорівнює межі частки їх похідних.

У наведеному прикладі ми маємо #f (t) = tan (6т) # і #g (t) = sin (2t) #. Ці функції є безперервними і диференційованими поблизу # t = 0, tan (0) = 0 і sin (0) = 0 #. Таким чином, наша початкова #f (a) / g (a) = 0/0 =?

Таким чином, ми повинні використовувати правило L'Hospital. # d / dt tan (6т) = 6 сек ^ 2 (6т), d / dt sin (2t) = 2 cos (2t) #. Таким чином …

#lim_ (tt> 0) tan (6t) / sin (2t) = lim_ (tt> 0) (6 сек ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 сек ^ 2 (0)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

Відповідь:

Reqd. Лім.#=3#.

Пояснення:

Ми знайдемо це Обмеження використовуючи наступне Стандартні результати:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1 #

Зауважте, #tan (6t) / sin (2t) = frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) ##frac (6t) (2t) = 3frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) #

Ось, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

Аналогічно #lim_ (trarr0) sin (2t) / (2t) = 1 #

Тому Reqd. Лім.#=3{1/1}=3#.