Як інтегрувати це?

Відповідь:

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + C #

Пояснення:

Ми хочемо вирішити

# I = int2 ^ xcos (3x) dx = inte ^ (ln (2) x) cos (3x) dx #

Давайте спробуємо більш загальну проблему

# I_1 = inte ^ (ax) cos (bx) dx #

Де ми шукаємо рішення

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Ідея полягає в тому, щоб використовувати інтеграцію по частинах двічі

# intudv = uv-intvdu #

Дозволяє # u = e ^ (ax) і # dv = cos (bx) dx #

Потім # du = ae ^ (ax) dx # і # v = 1 / bsin (bx) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) -a / binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Застосування інтеграції по частинах до решти інтегралу

# I_2 = a / binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Дозволяє # u = e ^ (ax) і # dv = sin (bx) dx #

Потім # du = ae ^ (ax) dx # і # v = -1 / bcos (bx) #

# I_2 = a / b (-1 / be ^ (ax) cos (bx) + a / binte ^ (ax) cos (bx) dx) #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2ent ^ (ax) cos (bx) dx #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

Замініть це на оригінальний інтеграл і вирішіть для # I_1 #, це трохи довго, але ми робимо це крок за кроком

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) - (- a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) -a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

# I_1 + a ^ 2 / b ^ 2I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# (a ^ 2 + b ^ 2) / b ^ 2I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# I_1 = b ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) (1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = 1 / (a ^ 2 + b ^ 2) (бути ^ (ax) sin (bx) + ae ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Для вашої проблеми # a = ln (2) # і # b = 3 #

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 9) + C #

Сподіваюся, що не буде багато помилок

Дивіться відповідь нижче: ми вирішили за допомогою дискретних елементів замість загальної постановки і не спростили кінцевий результат, а саме: