Що таке стандартна форма рівняння параболи з прямим при x = 103 і фокусом на (108,41)?

Відповідь:

# x = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

Пояснення:

Парабола є локусом точки, яка рухається так, що її відстань від заданої лінії називається directrix і задана точка, що називається фокусом, завжди однакова.

Тепер відстань між двома пінтами # (x_1, y_1) # і # (x_2, y_2) # дається #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # і відстань точки # (x_1, y_1) # з лінії # ax + від + c = 0 # є # | (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) | #

Приходить до параболі з directrix # x = 103 # або # x-103 = 0 # і фокус #(108,41)#Нехай точка буде рівновіддаленою від обох # (x, y) #. Відстань # (x, y) # від # x-103 = 0 # є

# | (x-103) / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) | = | (x-103) / 1 | = | x-103 | #

і відстань від нього #(108,41)# є

#sqrt ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2) #

і як вони рівні, буде рівняння параболи

# (108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2 = (x-103) ^ 2 #

або # 108 ^ 2 + x ^ 2-216x + 41 ^ 2 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 103 ^ 2-206x #

або # 11664 + x ^ 2-216x + 1681 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 10609-206x #

або # y ^ 2-82y-10x + 2736 = 0 #

або # 10x = y ^ 2-82y + 2736 #

або # 10x = (y-41) ^ 2 + 1055 #

або у вершинній формі # x = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

і вершина #(105 1/2,41)#

Його графік з'являється, як показано нижче, разом з фокусом і directrix.

граф {(y ^ 2-82y-10x + 2736) ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2-0.6) (x-103) = 0 51.6, 210.4, -13.3, 66.1}