Яка площа поверхні твердого тіла, створеного обертанням f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x в [1,3] навколо осі x?

Відповідь:

Визначте знак, потім інтегруйте по частинах. Площа:

# A = 39,6345 #

Пояснення:

Ви повинні знати #f (x) # є від'ємним або позитивним у #1,3#. Тому:

# xe ^ -x-xe ^ x #

#x (e ^ -x-e ^ x) #

Щоб визначити знак, другий фактор буде позитивним, коли:

# e ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# e ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

З # e ^ x> 0 # для будь-якого #x in (-oo, + oo) # нерівність не змінюється:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# e ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

Таким чином, функція є позитивною, коли x є негативною, і навпаки. Так як існує також # x # фактор в #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

Коли один фактор є позитивним, то інший негативний, то f (x) завжди негативний. Тому територія:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3-e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3-e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Використання калькулятора:

# A = 39,6345 #

Відповідь:

Площа = 11 336,8 кв

Пояснення:

дане #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

для простоти нехай #f (x) = y #

і # y = xe ^ -x -xe ^ x #

перша похідна # y '# необхідна для обчислення площі поверхні.

Площа # = 2pi int_1 ^ 3 y # # ds #

де # ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Площа # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Визначимо першу похідну # y '#:

диференціювати # y = x (e ^ -x - e ^ x) # з використанням похідної формули продукту

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

після спрощення та факторингу, результатом є

перша похідна # y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Розрахуйте зараз Площу:

Площа = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ds #

Площа # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Площа

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Для складних інтегралів, як це, ми можемо використовувати правило Сімпсона:

так що

Площа

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Площа = -11,336.804

це включає в себе напрямок обертання, так що може бути негативна площа поверхні або позитивна площа поверхні. Розглянемо лише позитивне значення Площа = 11336.804 кв