Які два приклади розходяться послідовностей?

Відповідь:

#U_n = n # і #V_n = (-1) ^ n #

Пояснення:

Будь-які серії, які не сходяться, вважаються розходячими

#U_n = n #:

# (U_n) _ (n у NN) # розходяться, тому що він збільшується, і не визнає максимум:

#lim_ (n -> + oo) U_n = + oo #

#V_n = (-1) ^ n #:

Ця послідовність розходиться, тоді як послідовність обмежена:

# -1 <= V_n <= 1 #

Чому?

Послідовність сходиться, якщо вона має межу, одномісний !

І # V_n # можна розкласти в 2 підпослідовності:

#V_ (2n) = (-1) ^ (2n) = 1 # і

#V_ (2n + 1) = (-1) ^ (2n + 1) = 1 * (-1) = -1 #

Потім: #lim_ (n -> + oo) V_ (2n) = 1 #

#lim_ (n -> + oo) V_ (2n + 1) = -1 #

Послідовність сходиться тоді і тільки тоді, коли кожна підпослідовність сходиться до тієї ж межі.

Але #lim_ (n -> + oo) V_ (2n)! = lim_ (n -> + oo) V_ (2n + 1) #

Тому # V_n # не має межі і тому розходяться.