Які поширені помилки студенти роблять з еліпсами в стандартній формі?

Стандартна форма для еліпса (як я її навчаю) виглядає так: # (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) - центр.

відстань "а" = як далеко вліво / вправо рухатися від центру, щоб знайти горизонтальні кінцеві точки.

відстань "b" = як далеко вгору / вниз рухатися від центру, щоб знайти вертикальні кінцеві точки.

Я думаю, що часто студенти помилково думають про це # a ^ 2 # - наскільки далеко можна відійти від центру, щоб знайти кінцеві точки. Іноді це буде дуже велика відстань для подорожей!

Крім того, я думаю, що іноді студенти помилково рухаються вгору / вниз, а не праворуч / ліворуч, застосовуючи ці формули до своїх проблем.

Ось приклад, щоб говорити про:

# (x-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

Центр (1, -4). Ви повинні рухатися вправо і вліво "a" = 2 одиниці, щоб отримати горизонтальні кінцеві точки в (3, -4) і (-1, -4). (див. зображення)

Ви повинні рухатися вгору і вниз "b" = 3 одиниці, щоб отримати вертикальні кінцеві точки в (1, -1) і (1, -7). (див. зображення)

Оскільки a <b, велика вісь буде у вертикальному напрямку.

Якщо a> b, велика вісь буде йти в горизонтальному напрямку!

Якщо вам потрібно дізнатися будь-яку іншу інформацію про еліпси, задайте інше запитання!

(Плутанина щодо того # a # і # b # представляють великі / малі радіуси, або # x #- & # y #-радіі)

Нагадаємо, що стандартна форма для еліпса по центру є

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Вже, однак, деякі з них поставлять питання з формулою, наведеною вище. Деякі школи мислення це дотримуються # a # завжди має бути більше, ніж # b # і таким чином представляють довжину основного радіуса (навіть якщо основний радіус лежить у вертикальному напрямку, таким чином допускаючи # y ^ 2 / a ^ 2 # в такому випадку), а інші вважають, що він повинен завжди представляти # x #-radius (навіть якщо # x #-радіус - це малий радіус).

Те ж саме справедливо і з # b #, хоч і в зворотному напрямку. (тобто деякі вважають, що # b # завжди повинен бути незначний радіус, а інші вважають, що він повинен завжди бути # y #-radius).

Переконайтеся, що ви знаєте, який метод віддає перевагу ваш інструктор (або програма, яку ви використовуєте). Якщо немає сильної переваги, то просто вирішіть для себе, але бути узгодженим з рішенням. Змінюючи свій розум на півдорозі через завдання, все буде незрозумілим і змінимо ваше розум на півдорозі через один проблема просто призведе до помилок.

(Плутанина радіуса / осі)

Більшість помилок у еліпсах, як видається, є результатом цієї плутанини щодо того, який радіус є основним і який є незначним. Інші можливі помилки можуть виникнути, якщо ви переплутаєте основний радіус з великою віссю (або малим радіусом з малою віссю). Велика (або другорядна) вісь дорівнює подвоєному радіусу основного (або мінорного) радіусу, оскільки він є по суті основним (або малим) діаметром. Залежно від етапу, де відбувається ця плутанина, це може призвести до серйозних помилок в масштабі для еліпса.

(Радіус / радіус квадрата плутанини)

Аналогічна помилка виникає, коли студенти забувають, що знаменники (# a ^ 2, b ^ 2 #) є квадрати радіусів, а не самі радіуси. Це не рідкість бачити студента з такою проблемою # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # намалюйте еліпс # x #-radius 9 і # y #4. Радіус 4. Крім того, це може відбуватися у зв'язку з вищевказаною помилкою (змішуючи радіус діаметра), що призводить до таких результатів, як учень з вищенаведеним рівнянням, що малює еліпс з великим діаметром 9 (і, отже, головний радіус 4,5), замість правильного магістрального діаметра 6 (і великого радіуса 3).

(Гіпербола і еліпс плутанини) ПОПЕРЕДЖЕННЯ: Відповідь досить довгий

Інша досить поширена помилка виникає, якщо помилково запам'ятати формулу еліпса. Зокрема, найпоширеніші з цих помилок, мабуть, відбуваються, коли плутають формулу еліпсів з такою для гіпербол (яка, нагадаємо, # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # або # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # для тих, що зосереджені по походженню, знову ж таки з урахуванням вищезгаданих конвенцій з маркуванням осей). Для цього допомагає запам'ятати визначення еліпсів і гіперболів як конічних перетинів.

Зокрема, нагадаємо, що еліпс є локусом точок, пов'язаних з двома вогнищами # f_1 & f_2 # розташовані вздовж великої осі такі, що для довільної точки # p # на локусі, відстань від # p # до # f_1 # (позначено # d_1 #) плюс відстань від # p # до # f_2 # (позначено # d_2 #) дорівнює подвійному радіусу (тобто # a # є основним радіусом, # d_1 + d_2 = 2a #). Далі відстань від центру до будь-якого з цих вогнищ (іноді його називають напівфокальне поділ або лінійний ексцентриситет), припускаючи # a # - основний радіус, дорівнює #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

На відміну від цього, гіпербола є локусом точок, пов'язаних з двома фокусами таким чином, що для точки # p # на локусі - абсолютна величина різниця між відстанню точки до першого фокусу і відстанню точки до другого фокусу дорівнює подвоєному великому радіусу (тобто # a # великий радіус, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Далі, відстань від центру гіперболи до будь-якого з цих вогнищ (знову ж таки іноді називають лінійним ексцентриситетом, і досі припускають # a # основний радіус) дорівнює #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Щодо визначення конічних розділів, то загальне ексцентричність # e # розділу визначає, чи є він колом (# e = 0 #), еліпс (# 0 <e <1 #), parabola (# e = 1 #), або гіпербола (#e> 1 #). Для еліпсів і гіперболь ексцентриситет можна розрахувати як відношення лінійної ексцентриситету до довжини великого радіуса; таким чином, для еліпса це буде #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (і при цьому обов'язково менше 1), а для гіперболи вона буде #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (і, таким чином, обов'язково більше 1).