Радіус кола, вписаного в рівносторонній трикутник, дорівнює 2. Який периметр трикутника?

Відповідь:

Периметр дорівнює # 12sqrt (3) #

Пояснення:

Існує багато способів вирішення цієї проблеми.

Ось один з них.

Центр кола, вписаний в трикутник, лежить на перетині бісектриси його кутів. Для рівностороннього трикутника це те саме місце, де перетинаються його висоти і медіани.

Будь-яка медіана поділяється на точку перетину з іншими медіанами пропорційно #1:2#. Отже, бісектриса середньої, висоти і кута рівностороннього трикутника дорівнює

#2+2+2 = 6#

Тепер можна використати теорему Піфагора для знаходження сторони цього трикутника, якщо ми знаємо його висоту / серединну / кут бісектрису.

Якщо сторона є # x #, з теореми Піфагора

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

Від цього:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) x = 12 #

#x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

Периметр дорівнює трьом таким сторонам:

# 3x = 12sqrt (3) #.

Відповідь:

Периметр дорівнює # 12sqrt (3) #

Пояснення:

Альтернативний метод наведено нижче.

Припустимо, що наш рівносторонній трикутник #Delta ABC # а центром вписаного кола є # O #.

Намалюйте бісектриса середньої / altitude.angle з вершини # A # через точку # O # доти, поки вона не перетне бік # BC # в точці # M #. Очевидно, # OM = 2 #.

Розглянемо трикутник #Delta OBM #.

Його право з #OM_ | _BM #.

Кут # / _ OBM = 30 ^ o # з # BO # - бісектриса кута # / _ ABC #.

Сторона # BM # - половина сторони # BC # з # AM # медіана.

Тепер ми можемо знайти # OB # як гіпотенуза в прямокутному трикутнику з одним гострим кутом, рівним # 30 ^ o # і катету, протилежному йому #2#. Ця гіпотенуза вдвічі довша, ніж цей катетус #4#.

Маючи гіпотенузу # OB # і катетус # OM #, знайти інший катетус # BM # теоремою Піфагора:

# BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

Тому,

# BM = sqrt (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

Периметр є

# 3 * BC = 12sqrt (3) #