Без використання функції вирішення калькулятора, як я можу вирішити рівняння: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Відповідь:

Нулі # x = 5 #, # x = -2 #, # x = 1 + -sqrt (2) i #

Пояснення:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

Нам сказано, що # (x-5) # є фактором, тому відокремлюйте його:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

Нам сказано, що # (x + 2) # також є чинником, тому відокремте це:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

Дискримінант решти квадратичного фактора є негативним, але ми можемо використовувати квадратичну формулу, щоб знайти комплексні корені:

# x ^ 2-2x + 3 # знаходиться у формі # ax ^ 2 + bx + c # с # a = 1 #, # b = -2 # і # c = 3 #.

Коріння задаються квадратичною формулою:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3)) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + 2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Спробуємо, не знаючи цього # (x-5) # і # (x + 2) # є факторами.

Постійний термін дорівнює кореневому продукту, так

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Цей коефіцієнт є цілочисельним значенням, факторами якого є #pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Спроба цих цінностей ми можемо побачити

#p (-2) = p (5) = 0 # отримання двох коренів.

Ми можемо представляти поліном як

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Розрахунок правої сторони і порівняння обох сторін ми отримуємо

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = -10b #

Рішення для # (a, b) # ми отримуємо # a = -2, b = 3 #

Оцінка коренів Росії # x ^ 2-2x + 3 = 0 # ми отримуємо # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #