Відповідь:
# "Тут не існує легкої факторизації. Лише загальний метод" #
# "для вирішення кубічного рівняння може допомогти нам тут".
Пояснення:
# "Ми могли б застосувати метод, заснований на підстановці Vieta."
# "Розділення на перший коефіцієнт:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Заміна" x = y + p "у" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "дає:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "якщо взяти" 3p + a = 0 "або" p = -a / 3 ", перший коефіцієнт" # # "стає нулем, і ми отримуємо:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(з" p = -2/3 ")" #
# "Підставляючи" y = qz "у" y ^ 3 + b y + c = 0 ", виводить:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "якщо взяти" q = sqrt (| b | / 3) ", то коефіцієнт z стає" #
# "3 або -3, і ми отримуємо:" #
# "(тут" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Заміна" z = t + 1 / t ", виводить:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "Підставляючи" u = t ^ 3 ", дає квадратичне рівняння:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "Коріння квадратичного рівняння складні" #
# "Це означає, що ми маємо 3 реальних кореня в нашому кубічному рівнянні."
# "Корінь цього квадратичного рівняння" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 i #
# "Підставляючи змінні назад, дає:" #
#t = root3 (u) = 1.0 * (cos (-0.93041329) + i sin (-0.93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i.
# => z = 1.19500526 + i 0.0.
# => y = 1.93100097 + i 0.0. #
# => x = 1.26433430 #
# "Інші коріння можна знайти, розділивши та вирішивши" # " # "залишкове квадратичне рівняння."
# "Інші коріння реальні: -3.87643981 і 0.61210551" #
Відповідь:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
де:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Пояснення:
Дано:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Зауважте, що це значно легше, якщо у запиті є помилка.
Наприклад:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-колір (червоний) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + колір (червоний) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Якщо кубік правильний у заданій формі, то можна знайти його нулі та фактори наступним чином:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Трансформація Чірнхауса
Щоб зробити завдання розв'язання кубічної простіше, ми зробимо кубік простішим, використовуючи лінійне заміщення, відоме як трансформація Цирнхауса.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = t ^ 3-282t + 1712 #
де # t = (6x + 4) #
Тригонометричне заміщення
З #f (x) # має #3# Реальні нулі, метод Кардано та подібні будуть призводити до виразів, що включають незвідні коріння куба складних чисел. Я вважаю за краще використовувати такі тригонометричні заміни.
Покладіть:
#t = k cos theta #
де #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Потім:
# 0 = t ^ 3-282т + 1712 #
#color (білий) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (білий) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (білий) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
Тому:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
Тому:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2 npi #
Тому:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Тому:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Що дає #3# різні нулі кубічного в # t #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # для #n = 0, 1, 2 #
Потім:
#x = 1/6 (t-4) #
Отже, три нулі даного кубіка:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
з приблизними значеннями:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
