Як перевірити ((csc ^ (3) x-cscxcot ^ (2) x)) / (cscx) = 1?

Стратегія, яку я використовував, це написати все з точки зору # sin # і # cos # використовуючи ці ідентичності:

#color (білий) => cscx = 1 / sinx #

#color (білий) => cotx = cosx / sinx #

Я також використав модифіковану версію піфагорейської ідентичності:

#color (білий) => cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

# => sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

Тепер ось актуальна проблема:

# (csc ^ 3x-cscxcot ^ 2x) / (cscx) #

# ((cscx) ^ 3-cscx (cotx) ^ 2) / (1 / sinx) #

# ((1 / sinx) ^ 3-1 / sinx * (cosx / sinx) ^ 2) / (1 / sinx) #

# (1 / sin ^ 3x-1 / sinx * cos ^ 2x / sin ^ 2 x) / (1 / sinx) #

# (1 / sin ^ 3x-cos ^ 2x / sin ^ 3x) / (1 / sinx) #

# ((1-cos ^ 2x) / sin ^ 3x) / (1 / sinx) #

# (sin ^ 2x / sin ^ 3x) / (1 / sinx) #

# (1 / sinx) / (1 / sinx) #

# 1 / sinx * sinx / 1 #

#1#

Сподіваюся, що це допомагає!

Відповідь:

Дивіться нижче.

Пояснення:

# LHS = (csc ^ 3x-cscx * cot ^ 2x) / cscx #

# = csc ^ 3x / cscx- (cscx * cot ^ 2x) / cscx #

# = csc ^ 2x-ліжечко ^ 2x #

# = 1 / sin ^ 2x-cos ^ 2x / sin ^ 2x #

# = (1-cos ^ 2x) / sin ^ 2x #

# = sin ^ 2x / sin ^ 2x = 1 = RHS #