Як знайти суму нескінченної геометричної серії 10 (2/3) ^ n при n = 2?

Відповідь:

Відповідь або #40/9# або #40/3# залежно від того, що мається на увазі під питанням.

Пояснення:

Добре якщо #n = 2 # тоді немає суми, відповідь така:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Але, мабуть, питання було покликане просити, щоб нескінченна сума була прийнята починаючи з # n = 2 # таке, що рівняння:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

У цьому випадку ми обчислимо це, спочатку зауваживши, що будь-які геометричні ряди можна розглядати як такі:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

У цьому випадку наша серія має #a = 10 # і #r = 2/3 #.

Відзначимо також, що:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Тому ми можемо просто обчислити суму геометричної серії # (2/3) ^ n # і потім помножте цю суму на #10# досягти нашого результату. Це полегшує роботу.

Ми також маємо рівняння:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

Це дозволяє обчислити суму серії, починаючи з # n = 0 #. Але ми хочемо його обчислити # n = 2 #. Для цього ми просто віднімемо # n = 0 # і # n = 1 # терміни з повної суми. Написавши перші кілька термінів суми, можна побачити, що вона виглядає так:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Ми бачимо, що:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#