U_1, u_2, u_3, ... знаходяться в геометричній прогресії (GP). Загальний коефіцієнт термінів у рядах - K.Now визначають суму ряду u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) у вигляді K і u_1?

Відповідь:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

Пояснення:

Загальний термін геометричної прогресії можна записати:

#a_k = a r ^ (k-1) #

де # a # є початковим терміном і # r # загальний коефіцієнт.

Сума до # n # терміни задаються формулою:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (білий) () #

З інформацією, наведеною в питанні, використовується загальна формула # u_k # може бути написано:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Зауважте, що:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

Тому:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#color (білий) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#color (білий) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # де # a = u_1 ^ 2K # і #r = K ^ 2 #

#color (білий) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (білий) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #