Яке кінець поведінки функції f (x) = ln x?

#f (x) = ln (x) -> як #x -> (#ln (x) # зростає без обмеження # x # росте без зв'язків) і #f (x) = ln (x) -> - інтерні # як #x -> 0 ^ {+} # (#ln (x) # росте без зв'язаного в негативному напрямку, як # x # підходить до нуля справа).

Щоб довести перший факт, ви по суті повинні показати, що зростає функція #f (x) = ln (x) # не має горизонтальної асимптоти як #x ->.

Дозволяє #M> 0 # будь-яке позитивне число (незалежно від того, наскільки велике). Якщо #x> e ^ {M} #, потім #f (x) = ln (x)> ln (e ^ {M}) = M # (з #f (x) = ln (x) # є зростаючою функцією). Це доводить, що будь-яка горизонтальна лінія # y = M # не може бути горизонтальною асимптотою #f (x) = ln (x) # як #x ->. Справа в тому, що #f (x) = ln (x) # це зростаюча функція тепер передбачає, що #f (x) = ln (x) -> t як # x-> infty #.

Щоб довести другий факт, нехай #M> 0 # будь-яке дане позитивне число так, що # -M <0 # будь-яке задане негативне число (незалежно від того, наскільки далеко від нуля). Якщо # 0 <x <e ^ {- M} #, потім #f (x) = ln (x) <ln (e ^ {- M}) = - M # (з #f (x) = ln (x) # зростає). Це доводить це #f (x) = ln (x) # опускається нижче будь-якої горизонтальної лінії, якщо # 0 <x # досить близький до нуля. Це означає #f (x) = ln (x) -> - інтерні # як #x -> 0 ^ {+} #.