Це тригонометричний доказ узагальненого випадку, питання знаходиться в полі докладної інформації?

Відповідь:

Доказ індукцією нижче.

Пояснення:

Доведемо цю ідентичність за допомогою індукції.

A. Для # n = 1 # ми повинні перевірити це

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (тета) -1

Дійсно, використовуючи ідентичність #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (тета) -1, ми бачимо це

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (тета) -1) +1 = 4cos ^ 2 (тета) -1 = #

# = (2cos (тета) -1) * (2cos (тета) +1) #

з чого випливає, що

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (тета) -1

Отже, для # n = 1 # наша ідентичність дійсна.

Б. Припустимо, що ідентичність справедлива для # n #

Отже, ми припускаємо, що

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j в 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(символ # Pi # використовується для продукту)

C. Використовуючи припущення B вище, давайте довести ідентичність для # n + 1 #

Ми повинні довести, що з припущення B слід

# (2cos (2 ^ (n + 1) тета) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j в 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(зверніть увагу, що правою межею для індексу множення є # n # зараз).

Докази

Використання ідентичності #cos (2x) = 2кос ^ 2 (х) -1 для # x = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) тета) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * тета)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Розділити початкові та кінцеві вирази на # 2cos (theta) +1 #, отримання

# 2cos (2 ^ (n + 1) тета) +1 / 2cos (тета) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (тета) +1 #

Тепер ми використовуємо припущення B

# 2cos (2 ^ (n + 1) тета) +1 / 2cos (тета) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j в 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j в 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(зверніть увагу на те, що діапазон індексу тепер поширюється на # n #).

Остання формула однакова для # n + 1 # для оригіналу # n #. Це завершує доказ індукцією, що наша формула вірна для будь-якої # n #.

Відповідь:

Див. Розділ Доказ в Роз'ясненні нижче.

Пояснення:

Це рівнозначно, щоб довести, що

# (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "R.H.S."

Насолоджуйтесь математикою!