Що таке рівняння параболи, яка має вершину в (7, 9) і проходить через точку (0, 2)?

Відповідь:

#y = -1/7 (x - 7) ^ 2 + 9 #

Пояснення:

Ця проблема вимагає, щоб ми зрозуміли, як функція може бути переміщена навколо і розтягнута для задоволення конкретних параметрів. У цьому випадку наша основна функція #y = x ^ 2 #. Це описує параболу, у якої є вершина #(0,0)#. Однак ми можемо розширити його як:

#y = a (x + b) ^ 2 + c #

У найпростішій ситуації:

#a = 1 #

#b = c = 0 #

Але, змінюючи ці константи, ми можемо контролювати форму і положення нашої параболи. Почнемо з вершини. Оскільки ми знаємо, що вона повинна бути #(7,9)# нам потрібно перенести параболу за замовчуванням вправо на #7# і вгору #9#. Це означає маніпулювання # b # і # c # параметри:

Очевидно #c = 9 # тому що це означатиме все # y # значення збільшаться на #9#. Але менш очевидно, #b = -7 #. Це тому, що коли ми додаємо фактор до # x # термін, зсув буде протилежним цьому фактору. Ми бачимо, що тут:

#x + b = 0 #

#x = -b #

Коли ми додамо # b # до # x #, ми переміщуємо вершину в # -b # в # x # напрямок.

Отже, наша парабола досі:

#y = a (x - 7) ^ 2 + 9 #

Але ми повинні розтягнути його, щоб пройти через точку #(0,2)#. Це так само просто, як підключити ці значення:

# 2 = a (-7) ^ 2 + 9 #

# 2 = 49a + 9 #

# -7 = 49a #

#a = -1 / 7 #

Це означає, що наша парабола буде мати таке рівняння:

#y = -1/7 (x - 7) ^ 2 + 9 #