Як ви доводите sec (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

Відповідь:

Робіть деяке спряжене множення, використовуйте ідентичності тригерів і спрості. Дивись нижче.

Пояснення:

Нагадаємо піфагорейську ідентичність # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Розділіть обидві сторони на # cos ^ 2x #:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> загар ^ 2x + 1 = сек ^ 2х #

Ми будемо використовувати цю важливу ідентичність.

Давайте зосередимося на цьому вираженні:

# secx + 1 #

Зауважте, що це еквівалентно # (secx + 1) / 1 #. Помножте верх і дно на # secx-1 # (ця методика відома як множення кон'югату):

# (secx + 1) / 1 * (сек-1) / (сек-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (sec ^ 2x-1) / (сек-1) #

Від # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, ми бачимо це # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Тому можна замінити чисельник на # tan ^ 2x #:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) #

Тепер наша проблема:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

У нас є загальний знаменник, тому ми можемо додати дробу ліворуч:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (tan ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Скасувати дотичні:

# (скасувати (засмучений ^ 2х) + 1-відмінити (загар ^ 2х)) / (сек-1) = cosx / (1-cosx) #

Залишаючи нас:

# 1 / (сек-1) = cosx / (1-cosx) #

З # secx = 1 / cosx #, ми можемо переписати це як:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

Додавання дробів у знаменнику:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

Використання власності # 1 / (a / b) = b / a #, ми маємо:

# cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

І це завершує доказ.

# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2x) / (сек-1) #

# = ((secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (сек-1) #

# = (sec ^ 2x-1 + 1-tan ^ 2x) / (сек-1) #

# = cosx / cosx * ((sec ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((сек-1)) #

#color (червоний) ("накладання", sec ^ 2x-tan ^ 2x = 1) #

# = cosx / (cosxsecx-cosx) #

#color (червоний) ("вставка", cosxsecx = 1) #

# = cosx / (1-cosx) = RHS #