Діапазон e ^ x / ([x] +1), x> 0 і де [x] позначає найбільше ціле число?

Відповідь:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Пояснення:

Я вважаю # x # є найменшим цілим числом, більшим ніж # x #. У наступній відповіді ми використаємо позначення #ceil (x) #, називається функцією стелі.

Дозволяє #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. З # x # строго більше, ніж #0#Це означає, що домен # f # є # (0, + oo) #.

Як #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # і з тих пір # e ^ x # завжди позитивний, # f # завжди суворо більше, ніж #0# у своїй області. Важливо зазначити, що # f # є ні ін'єкційна і також не є безперервною при натуральних числах. Щоб довести це, нехай # n # бути натуральним номером:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Оскільки #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

Аналогічно #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Оскільки лівий і правий ліміти не є рівними, # f # не є безперервним на цілих числах. Також, #L> R # за всіх #n у NN #.

Як # f # збільшується в інтервалах, обмежених натуральними числами, "найменші значення" в інтервалі будуть такими, як # x # підходить до нижньої межі справа.

Отже, мінімальне значення # f # буде

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Це нижня межа діапазону # f #.

Хоча це не дійсно правильно сказати # f # зростає, вона в сенсі, асимптотично, наближається до нескінченності - як показано нижче:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

Як #ceilx> = x #, існує a #delta <1 # такий, що # ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

Дозволяє #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# e ^ u # збільшується експоненціально # u # робить це лінійно, тобто

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (дельта + 1) = оо * 1 / е ^ (дельта + 1) = оо #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = оо #

Тому діапазон # f # є

# "Діапазон" = (1/2, oo) #

Інтервал відкритий зліва, оскільки #http: // 2 # ще #f (0) #, і як # x # підходи #0^+#, #f (x) # тільки підходи #http: // 2 #; вона ніколи не є рівною.