Як ви пишете часткове розкладання частки раціонального виразу (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2)?

Відповідь:

# (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #

Пояснення:

Для запису даного виразу в часткові фракції ми думаємо про факторизацію знаменника.

Розділимо знаменник

#color (синій) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = колір (синій) (x ^ 2 (x-2) - (x-2)) #

# = колір (синій) ((x-2) (x ^ 2-1)) #

Застосування ідентичності поліномів:

#color (помаранчевий) (a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b)) #

ми маємо:

#color (синій) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = колір (синій) ((x-2) (x ^ 2-1 ^ 2)) #

# = колір (синій) ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

Розберемо раціональне вираження шляхом знаходження # A, B і C #

# color (коричневий) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) = колір (зелений) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x) +2)) #

# color (коричневий) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) #

# = колір (коричневий) ((A (x-1) (x + 1)) / (x-2) + (B (x-2) (x + 1)) / (x-1) + (C (x-2) (x-1)) / (x + 1)) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2 + x-2x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-x-2x) +2)) / (x + 1) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2-x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-3x + 2)) / (x + 1) #

# = (Ax ^ 2-A + Bx ^ 2-Bx-2B + Cx ^ 2-3Cx + 2C) / ((x-2) (x-1) (x + 1) #

# = колір (коричневий) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

# = колір (коричневий) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) = колір (зелений) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) #

Потім, #rArrcolor (коричневий) ((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) = колір (зелений) (3x) #

Ми маємо систему з трьох рівнянь з трьома невідомими # A, B і C #

# A + B + C = 0 # eq1

# -B-3C = 3 # eq2

# -A-2B + 2C = 0 # eq3

Початок розв'язання системи

eq2:# -B-3C = 3rArr-B = 3 + 3CrArrcolor (червоний) (B = -3-3C) #

Підставляючи # B # у eq1 ми маємо:

# A + B + C = 0 #

# A-3-3C + C = 0rArrA-3-2C = 0rArrcolor (червоний) (A = 3 + 2C) #

Підставляючи #B і C #у eq3 ми маємо:

# -A-2B + 2C = 0 # eq3

# rArr- (колір (червоний) (3 + 2C)) - 2 (колір (червоний) (- 3-3C)) + 2C = 0 #

# rArr-3-2C + 6 + 6C + 2C = 0 #

# rArr + 3 + 6C = 0 #

# rArr6C = -3 #

#rArrcolor (червоний) (C = -1 / 2) #

#color (червоний) (B = -3-3C) = - 3-3 кольору (червоний) (- 1/2) = - 3 + 3/2 #

#color (червоний) (B = -3 / 2 #

# color (червоний) (A = 3 + 2C) = 3 + 2 (-1/2) = 3-1 #

#color (червоний) (A = 2) #

Підставимо значення:

#color (зелений) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) = колір (коричневий) (колір (червоний) 2 / (x-2) + (колір (червоний) (- 3) / 2)) / (x-1) + колір (червоний) ((- 1/2)) / (x + 1)) #

Тому, # (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #