Кількість способів, яким екзаменатор може привласнити 30 балів до 8 запитань, не менше 2 балів, на будь-яке питання?

Відповідь:

#259459200#

Пояснення:

Якщо я читаю це правильно, то якщо екзаменатор може призначити позначки лише в кратних 2. Це тоді означатиме, що є лише 15 варіантів з 30 позначок.i.e. #30/2 = 15#

Тоді ми маємо 15 варіантів, розподілених по 8 запитанням.

Використовуючи формулу для перестановок:

# (n!) / ((n - r)!) #

Де # n # - кількість об'єктів (у цьому випадку позначки в групах по 2).

І # r # скільки забирається одночасно (у цьому випадку 8 запитань)

Тому ми маємо:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

Відповідь:

Існує # "" _ 21C_14 # (або 116,280) способів.

Пояснення:

Ми починаємо з 30 балів у «банку», щоб віддати. Оскільки всі питання повинні коштувати не менше 2 балів, ми беремо # 2 xx 8 = 16 # знаки від #30# і розподілити їх однаково. Тепер кожне питання має 2 (поки що) і "банк" залишається #30-16=14# знаків.

Тепер нам просто потрібно знайти кількість способів розділити інші 14 знаків серед 8 питань. По-перше, це може здатися дуже важким, але є трюк, який робить його набагато більш інтуїтивним.

Давайте спростимо на хвилину. Що робити, якщо у нас було тільки 2 питання, і 14 міток, щоб розділити між ними? Скільки способів ми можемо це зробити? Ну, ми могли б розділити позначки як 14 + 0, або 13 + 1, або 12 + 2 і т.д. … або 1 + 13, або 0 + 14. Іншими словами, коли нам потрібно лише ввести 1 розкол (між 2 запитаннями), ми отримуємо 15 способів зробити це.

Це те ж саме, що і запитання: "Скільки унікальних способів ми можемо організувати 14 жовтих мармурів (знаків) і 1 блакитного мармуру (роздільник питань) поспіль?" Відповідь на це можна знайти, обчисливши кількість перестановок усіх 15 мармурів (тобто #15!#), потім діленням за кількістю способів перестановки обох жовтих кульок #(14!)# і блакитний мармур #(1!)#, оскільки в кожній композиції не має значення, в якому порядку з'являються ідентичні мармури.

Тому, коли є 14 жовтих мармурів (мітки) і 1 блакитний мармур (сплітер питання), є

# (15!) / (14! Xx1!) = (15xxcancel (14!)) / (Скасувати (14!) Xx1) = 15/1 = 15 #

15 способів розташування мармуру (розділити позначки). Примітка: це дорівнює # "" _ 15C_14 #.

Введемо ще один блакитний мармур, тобто другий розкол, або третє питання, щоб дати знаки. Тепер у нас є 16 загальних мармурів, і ми хочемо знати, скільки унікальних способів ми можемо організувати. Як і раніше, ми беремо #16!# способи влаштувати всі кульки, потім розділити способами перестановки обох жовтих #(14!)# і сині #(2!)#:

# (16!) / (14! Xx2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (Скасувати (14!) Xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120

Таким чином, існує 120 способів розділити 14 позначок між 3 запитаннями. Це також дорівнює # "" _ 16C_14 #.

Тепер ви можете помітити, куди ми прямуємо. Номер ліворуч від # C # дорівнює кількості знаків, які ми розбиваємо (жовті кульки) плюс кількість сплітерів (блакитний мармур). Кількість спліттерів завжди один менше кількість запитань. Номер справа від # C # залишається кількість позначок.

Таким чином, для того, щоб розділити решту 14 знаків серед усіх 8 запитань (що вимагає 7 сплітерів), ми обчислимо

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" _ 21C_14 #

#color (білий) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#color (білий) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116,280" #

Таким чином, існує 116,280 способів призначити 30 балів до 8 запитань, де кожне питання коштує не менше 2 балів.