Що таке ортоцентр трикутника з кутами в (9, 7), (4, 4) і (8, 6) #?

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

Будемо називати вершини # A = (4,4) #, # B = (9,7) # і # C = (8,6) #.

Потрібно знайти два рівняння, перпендикулярні до двох сторін, і пройти через дві вершини. Ми можемо знайти нахил двох сторін і, отже, нахил двох перпендикулярних ліній.

Нахил АБ:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Схил, перпендикулярний до цього:

#-5/3#

Це повинно пройти через вершину C, так що рівняння лінії:

# y-6 = -5 / 3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

Схил БК:

#(6-7)/(8-9)=1#

Схил, перпендикулярний до цього:

#-1#

Це повинно пройти через вершину A, так що рівняння лінії:

# y-4 = - (x-4) #, # y = -x + 8 # 2

Де 1 і 2 перетинаються ортоцентр.

Рішення 1 і 2 одночасно:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

Використання 2:

# y = -17 + 8 = -9 #

Ортоцентр:

#(17, -9)#

Оскільки трикутник тупий, ортоцентр знаходиться за межами трикутника. це можна побачити, якщо ви продовжите висотні лінії, поки вони не перетнуть.

Відповідь:

Ортоцентр

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

Циркулярний центр

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Пояснення:

Ортоцентр

Дано # p_1, p_2, p_3 # і

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # такий, що

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Ці вектори легко отримуються, наприклад

# p_1 = (x_1, y_1) # і # p_2 = (x_2, y_2) # і потім

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Тепер у нас є

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Ці три лінії перетинаються в ортоцентрі трикутника

Вибір # L_1, L_2 # ми маємо

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # або

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

даючи рівняння

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Зараз вирішується для # lambda_1, lambda_2 # ми маємо

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13

і потім

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

Циркулярний центр

Рівняння окружності задається

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

тепер якщо # {p_1, p_2, p_3} у C # ми маємо

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

віднімаючи перше з другого

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0

віднімаючи перше з третього

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0

дає систему рівнянь

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Тепер підставимо дані, які ми отримуємо

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Прикріплений графік, що показує ортоцентр (червоний) і центр окружності (синій).