Що таке квадратний корінь з 5?

Квадратний корінь з #5# не може бути спрощеним батьком, ніж це вже є, так ось # sqrt5 # до десяти десяткових знаків:

# sqrt5 ~~ 2.2360679775 … #

Відповідь:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~ ~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # є ірраціональним числом.

Пояснення:

Всі позитивні числа зазвичай мають два квадратні корені, позитивний і негативний одного розміру. Позначимо позитивний (а.к.а. основний) квадратний корінь з # n # від #sqrt (n) #.

Квадратний корінь з числа # n # - число # x # такий, що # x ^ 2 = n #. Так якщо # x ^ 2 = n # потім також # (- x) ^ 2 = n #.

Проте популярним є те, що "квадратний корінь" відноситься до позитивного.

Припустимо, у нас є позитивне число # x # яка задовольняє:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Потім помноживши обидві сторони на # (2 + x) # ми отримуємо:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Потім віднімання # 2x # з обох сторін ми отримуємо:

# x ^ 2 = 5 #

Так ми знайшли:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (білий) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) #

Оскільки ця тривала фракція не припиняється, ми можемо це сказати #sqrt (5) # не може бути представлена як кінцева фракція - тобто раціональне число. Тому #sqrt (5) # є ірраціональним числом трохи менше, ніж #2 1/4 = 9/4#. Для кращого раціонального наближення можна припинити продовження дробу після більше термінів.

Наприклад:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Розпакування цих продовжених дробів може бути трохи виснажливим, тому я взагалі вважаю за краще використовувати інший метод, а саме граничне співвідношення цілочисельної послідовності, визначеної рекурсивно.

Визначити послідовність:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

Перші кілька термінів:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Співвідношення між термінами буде прагнути # 2 + sqrt (5) #.

Тому ми знаходимо:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #