Що таке int (cos (x)) ^ 4 dx? - Обчислення 2024

Відповідь:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

Пояснення:

Хоча спочатку здається, що це дійсно дратує інтеграл, ми можемо насправді використовувати ідентичності тригерів, щоб розбити цей інтеграл на ряд простих інтегралів, з якими ми більш знайомі.

Ідентифікація, яку ми будемо використовувати, це:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

Це дозволяє нам маніпулювати нашим рівнянням як таке:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Тепер ми можемо знову застосувати наше правило для усунення cos ^ 2 (2x) всередині дужки:

# 1 / 4int (1+ 2коз (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4коз (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4коз (2x) + cos (4x)) dx #

Тепер ми насправді маємо досить просту задачу інтеграції, ми можемо розподілити інтеграл у нашому дужці так, щоб:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Кожному з цих тригональних інтегралів застосовується просте правило #int cos (ax) dx = 1 / a sin (ax).

Таким чином, # = 1/8 3x + 2 sin (2x) + 1/4 sin (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

Покажіть, що cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Я трохи заплутаний, якщо я зробив Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), він стане негативним, оскільки cos (180 ° -тета) = - costheta в другий квадрант. Як я можу довести це питання?

Дивіться нижче. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Що таке int (sin x) / (cos ^ 2x + 1) dx?

Int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = -арктан (cos (x)) + C Введемо u-заміщення з u = cos (x). Похідна u буде тоді -sin (x), тому ми ділимо на це на інтегрувати по u: int (sin (x)) / (cos ^ 2 (x) +1) dx = int. cancel (sin (x)) / (1 + u ^ 2) * 1 / (- скасувати (sin (x))) dx = -int 1 / (1 + u ^ 2) du Це знайомий арктан інтеграл, що означає результат: -int 1 / (1 + u ^ 2) du = -арктан (u) + C Можна повторно замінити u = cos (x), щоб отримати відповідь в термінах x: -арктан (cos (x)) + C

Що таке інтеграл int sin (x) ^ 3 * cos (x) dx?

= (sin ^ 4 (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx Ми можемо використовувати заміну для видалення cos (x). Отже, давайте використаємо sin (x) як наше джерело. u = sin (x) Котрий тоді означає, що ми отримаємо, (du) / (dx) = cos (x) Знаходження dx дасть, dx = 1 / cos (x) * du Тепер замінюючи вихідний інтеграл із заміною, int_ u ^ 3 * cos (x) * 1 / cos (x) du Ми можемо скасувати тут cos (x), int_ u ^ 3 du = 1 / (3 + 1) u ^ (3 + 1) + C = 1/4 u ^ 4 + C Тепер встановлюючи для u, = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C