Ви б мені допомогли? int_0 ^ (pi / 2) (e ^ (2x) * sinx) dx

Відповідь:

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Пояснення:

це вимагає інтеграції частинами наступним чином. Межі будуть опущені до самого кінця

#int (e ^ (2x) sinx) dx #

#color (червоний) (I = intu (dv) / (dx) dx) = uv-intv (du) / (dv) dx #

# u = e ^ (2x) => du = 2e ^ (2x) dx #

# (dv) / (dx) = sinx => v = -cosx #

#color (червоний) (I) = - e ^ (2x) cosx + int2e ^ (2x) cosxdx #

другий інтеграл виконується також частинами

# u = 2e ^ (2x) => du = 4e ^ (2x) dx #

# (dv) / (dx) = cosx => v = sinx #

#color (червоний) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-int4e ^ (2x) sinxdx #

#color (червоний) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-4color (червоний) (I) #

#:. 5I = e ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 #

тепер покласти межі в

#I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (pi / 2) #

# = (e ^ pi ((2sin (pi / 2) -cos (pi / 2))) / 5) - (e ^ (0) (sin0-cos0) / 5) #

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Відповідь:

# {2e ^ pi + 1} / 5 #

Пояснення:

Хоча відповідь, що вже була надана, є досконалою, я просто хотів би вказати на більш простий спосіб отримати таку ж відповідь, використовуючи трохи більш просунутий підхід - це через складні числа.

Почнемо з відомого відношення

# e ^ {ix} = cos (x) + i sin (x) #

де # i = sqrt {-1} #і відзначимо, що це означає, що

#sin (x) = Im (e ^ {ix}) має на увазі e ^ {2x} sin (x) = Im (e ^ {(2 + i} x)) #

де # Im # позначає уявну частину.

Тому

# int_0 ^ {pi / 2} e ^ {2x} sin (x) dx = Im (int_0 ^ {pi / 2} e ^ {(2 + i) x} dx) #

# = Im (e ^ {(2 + i) x} / {2 + i} | _0 ^ {pi / 2}) = Im ({e ^ pi e ^ {ipi / 2} -1} / {2+ i}) #

# = Im ({тобто ^ pi -1} / {2 + i} раз {2-i} / {2-i}) = 1/5 Im ((- 1 + тобто ^ pi) (2-i)) #

# = 1/5 ((- 1) рази (-1) + e ^ pi раз 2) = {2e ^ pi + 1} / 5 #