Що таке хвильова функція і які вимоги для того, щоб вона була добре поведеною, тобто щоб вона належним чином представляла фізичну реальність?

Відповідь:

Хвильова функція являє собою комплексну оціночну функцію, амплітуда якої (абсолютна величина) дає розподіл ймовірностей. Однак він не веде себе так само, як звичайна хвиля.

Пояснення:

У квантовій механіці ми говоримо про стан системи. Одним з найпростіших прикладів є частинка, яка може знаходитися в спині вгору або вниз, наприклад електрон. Коли ми вимірюємо спін системи, ми або вимірюємо її, щоб бути вгору або вниз. Стан, за яким ми впевнені в результатах вимірювання, ми називаємо власним станом (одне вгору) # uarr # і одне нижнє стан # darr #).

Існують також стани, в яких ми не впевнені в результатах вимірювання, перш ніж виміряти його. Ці стани ми називаємо суперпозицією і можна записати їх як # a * uarr + b * darr #. Ось ми # | a | ^ 2 # ймовірність вимірювання # uarr #, і # | b | ^ 2 # ймовірність вимірювання # darr #. Це означає, звичайно, що # | a | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. Ми дозволяємо # a, b # Щоб бути комплексними числами, причина цього не відразу видно з цього прикладу, але в контексті хвильової функції вона буде більш зрозумілою. Суть у тому, що існує більше станів, ніж одна, що дає однакові ймовірності для вимірювання спинів.

Тепер ми можемо спробувати призначити цю функцію спину. Оскільки є тільки два результати вимірювання спина, ми маємо функцію, яка має тільки два можливих вхідних даних. Якщо ми викликаємо функцію # psi # (це дуже звичайний символ, який використовується для хвильового випромінювання), ми встановлюємо #psi (uarr) = a # і #psi (darr) = b #.

Тепер перейдемо до хвильової функції. Одним з аспектів частки, звичайно, є її розташування. Так само, як і у випадку зі спином, ми можемо виміряти різні значення для місця розташування, і ми можемо мати стани, в яких результат вимірювання не фіксується заздалегідь. Оскільки ми маємо незліченну нескінченність кількості місць, де може бути частинка, записуючи цей стан як # a * "here" + b * "там" # не буде. Однак ідея функції, яку ми використовували вище, робить. Так що для будь-якого місця # x #, ми маємо складне значення #psi (x) #. Функція щільності ймовірності частки тепер задана # | psi (x) | ^ 2 #.

З погляду справедливості, історично ідея хвильової функції старше, ніж у спина, але я думаю, що розуміння ідеї спіна до певної міри допомагає в розумінні хвильової функції.

Тепер перш за все, чому оцінюється комплекс хвильових функцій? Першу причину можна знайти в ідеї втручання. Хвильова функція частинки може заважати собі. Це втручання пов'язане з додаванням хвильових функцій, якщо хвильові функції дають однакову абсолютну величину в певній точці, то ймовірність вимірювання частки навколо цієї точки схожа. Однак значення функцій можуть бути різними, якщо вони однакові, додавання їх буде робити амплітуду, або щільність ймовірності 4 (#|2|^2#) разів більше (конструктивне втручання), і якщо вони відрізняються знаком, вони заперечують один одного (руйнівна інтерференція). Однак може також відрізнятися, наприклад, фактором # i #, що означає, що щільність ймовірності стає #2# у цей час більший. Ми знаємо, що всі ці перешкоди можуть виникнути. Отже, це вказує на комплексну оціночну хвильову функцію, описану раніше.

Другу причину можна знайти в рівнянні Шредінгера. Спочатку вважалося, що ці хвильові функції ведуть себе так само, як класичні хвилі. Однак, коли Шредінґер намагався описати поведінку цих хвиль, або, принаймні, їх еволюцію в часі, він виявив, що рівняння, що керує класичними хвилями, не є адекватним. Для того, щоб він працював, він повинен був ввести комплексне число в рівняння, що привело до висновку, що сама функція повинна бути комплексною, а порядок похідних, що з'являються в рівнянні, відрізняється від класичного хвильового рівняння.

Ця різниця в рівняннях також відповідає на ваше друге питання. Оскільки еволюція хвильової функції так сильно відрізняється від еволюції класичних хвиль, ми не можемо використовувати ті ж методи, які ми використовуємо в класичній хвильовій фізиці. Є, звичайно, геометричні аргументи, які можна використовувати, але цього недостатньо для опису всіх явищ у квантовій фізиці. Крім того, незважаючи на те, що хвильова функція дає багато інформації про стан частки, вона нічого не говорить про її обертання, оскільки спостережувані спини і розташування мають мало спільного з одним.

Можливо, я неправильно інтерпретую те, що ви розумієте під геометричною природою. Не могли б ви дати приклад того, що ви маєте на увазі. Можливо, тоді я міг би допомогти вам далі.

The хвильова функція являє собою стан квантової механічної системи, такий як атом або молекула.

Її можна представити також # psi #, незалежний від часу хвильова функція, або # Psi #, залежний від часу хвильова функція.

Тому що хвиля функція, очевидно, являє собою систему, яка веде себе як a хвиля (це не випадково, що його називають хвиля функція!), ми зазвичай очікуємо необмежений хвильова функція не має меж. Розглянемо те, що # sinx # і # cosx #, дві функції, які явно хвилі, мають домени # (- oo, oo) #.

ПРИКЛАД: ФУНКЦІЯ ХВИЛІ ДЛЯ ОРБІТАЛІВ

Однак, давайте візьмемо, наприклад, орбіталі. Має бути набір граничні умови для орбіталі, тому що явно орбіталі не нескінченно великі.

Хвильова функція може відображати лінійна комбінація атомних орбіталей формувати молекулярні орбіталі:

#color (синій) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = колір (синій) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +…) #

де # c_i # є коефіцієнт розширення вказуючи внесок кожної атомної орбіти в конкретну молекулярну орбіталь, про яку йдеться, # phi_i ^ "AO" # є експериментальна / експериментальна хвильова функція для кожної атомної орбіти.

Оскільки хвильова функція повинна бути здатною представляти орбіталь, вона повинна мати позитивний радіус (#r> 0 #) і хвильова функція повинна бути одномісний -оцінений, зачинено , безперервний , ортогональний до всіх пов'язаних хвильових функцій, і нормалізується .

Іншими словами, він повинен пройти тест вертикальної лінії, мати кінцеву область під кривою, не мати стрибків / розривів / асимптот / розривів і задовольнити наступні два рівняння:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(інтеграл хвильової функції та її комплексний сполучений #0# якщо хвильові функції різні)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(інтеграл хвильової функції та її комплексний кон'югат нормалізується так, що він дорівнює #1# якщо хвильові функції однакові, крім знака # pmi #)

Одним з прикладів рівняння для хвильової функції в сферичних координатах для атома водню є:

#color (синій) (psi_ (2pz) (r, тета, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (тета, фі)

# = color (синій) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Щоб подумати, я фактично витратив час, щоб нормалізувати це. Я навіть взяв час, щоб перевірити ортогональність з двома іншими # 2p # хвильові функції.: P

На всякий випадок, тут є додаток до того, що я зв'язав вище у Scratchpads.

#' '#

Нормалізація

The # 2p_z # атомна орбітальна хвильова функція:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (тета, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (тета, фі) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

Є # 2p_z # хвильова функція дійсно нормалізується? ДАВАЙ ДІЗНАЄМОСЬ!

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (тета, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (зелений) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (перевантаження (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (?) (=) 1) #

Тепер, розглядаючи тільки радіальну частину, яка є божевільною частиною … нехай починається четверна інтеграція частинами!

ОЦІНКА РАДІАЛЬНОЇ КОМПОНЕНТИ ФУНКЦІЇ ВОЛНИ

Частина 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

Дозволяє:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

Частина 2

Дозволяє:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Частина 3

Дозволяє:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

Частина 4

Дозволяє:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0)))доктор}}#

Розширення / спрощення

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0)) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

ОЦІНКА - ГОТОВА ФОРМА

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

Перша половина скасовується бути #0#:

# = cancel ({- e ^ (- (зоопарк) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

Друга половина спрощується бути # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = cancel (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) скасувати ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + скасувати (4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + скасування (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + скасування (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Тепер переглянемо хвильову функцію в цілому …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

# = 1 / (скасування (32) скасування (пі)) скасування ((Z / a_0) ^ 5) (скасування (16) скасування ((a_0 / Z) ^ 5)) (скасування (2) скасування (пі)) stackrel (?) (=) 1 #

#color (синій) (1 = 1) #

ТАК! ОДИН РАВНИЙ! Я маю на увазі…

Хвильова функція дійсно нормалізується!: D

Доведення взаємної ортогональності для хвильових функцій 2p

Виберемо наступні хвильові функції:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

Щоб показати, що вони ортогональні, нам потрібно показати принаймні одну з них:

#int _ ("весь пробіл") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

І з індукції ми можемо мати на увазі решту, оскільки радіальні компоненти однакові. Іншими словами:

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (тета) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0) #

#color (зелений) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Радіальна частина виявляється # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Отже, оцінюємо кутові частини.

The # theta # частина:

#color (зелений) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

Дозволяє:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * гріх ^ 3 (пі) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = колір (зелений) (0) #

А тепер # phi # частина:

#color (зелений) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

Дозволяє:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = колір (зелений) (0) #

Таким чином, у нас є:

#color (синій) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = cancel (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = колір (синій) (0) #

З

#int _ ("весь пробіл") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

# 2p_z # і # 2p_x # атомні орбіталі ортогональні.

Дійсно, головна відмінність від використання # 2p_y # рівняння є те, що ви замість цього отримаєте:

#color (зелений) ("Константи" int_ (0) ^ (oo) "Те ж саме" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

І так:

#color (синій) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = колір (синій) (0) #

Від множення #0# іншими інтегралами, таким чином весь інтеграл зникає і:

#int _ ("весь пробіл") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

таким чином, # 2p_x # і # 2p_y # атомні орбіталі ортогональні.

Нарешті, для # 2p_y # проти # 2p_z #:

#color (зелений) ("Константи" int_ (0) ^ (oo) "Те ж саме" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Ми знаємо # theta # інтеграл від попереднього:

#color (блакитний) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * гріх ^ 3 (пі) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = колір (синій) (0) #

І тому цілий інтеграл знову зникає, і справді # 2p_y # і # 2p_z # орбіталі також ортогональні!