Рівнобедрений трикутник має сторони A, B і C, причому сторони B і C мають однакову довжину. Якщо сторона A переходить від (1, 4) до (5, 1) і площа трикутника дорівнює 15, які можливі координати третього кута трикутника?

Відповідь:

Обидві вершини утворюють базу довжиною 5, тому висота повинна бути 6, щоб отримати область 15. Пішохідна точка є серединою точок, а шість одиниць у будь-якому перпендикулярному напрямку # (33/5, 73/10)# або #(- 3/5, - 23/10) #.

Пояснення:

Підказка: Спробуйте дотримуватися угод з маленькими літерами для сторін трикутника і великих літер для вершин трикутника.

Надано дві точки та область рівнобедреного трикутника. Дві точки складають базу, # b = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5.

Нога # F # висоти - середина двох точок, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Вектор спрямованості між точками є #(1-5, 4-1)=(-4,3)# з розрахунковою величиною 5. Отримуємо вектор спрямованості перпендикуляра, змінюючи точки і заперечуючи одну з них: #(3,4)# які також повинні мати величину п'ять.

З області # A = frac 1 2 b h = 15 # ми отримуємо # h = (2 * 15) /b=6.#

Тому нам потрібно рухатися #6# одиниці з # F # в будь-якому перпендикулярному напрямку, щоб отримати третю вершину, яку я назвав # C #:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) або C = (- 3/5, - 23/10) #

Перевірити: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

Підписана область - це половина перехресного продукту

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15

Це кінець, але давайте трохи узагальнимо відповідь. Давайте забудемо про те, що це рівнобедрений. Якщо ми маємо C (x, y), область задається формулою шнурок:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

Район є #15#:

# # 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 30 + 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # або # -11 = 3x + 4y #

Отже, якщо вершина C знаходиться на будь-якій з цих двох паралельних ліній, ми будемо мати трикутник області 15.

Дозволяє # PR = A # бути стороною рівнобедреного трикутника, що має координати його кінцевих точок наступним чином

#Pto (1,4) # і #Rto (5,1) #

Нехай координати третьої точки трикутника будуть # (x, y) #.

Як # (x, y) # є рівновіддалені від P і R ми можемо написати

# (x-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6y = 9 #

# => x = (9 + 6y) / 8 …… 1 #

Знову # (x, y) # будучи рівновіддаленими від Р і Р, перпендикуляр опустився # (x, y) # до # PR # Необхідно розділяти його, Нехай ця стопа перпендикулярна або середня точка # PR # бути # T #

Так координати Росії #Tto (3,2,5) #

Тепер висота рівнобедреного трикутника

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) #

І основу рівнобедреного трикутника

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Отже, проблемою є її область

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) = 6 #

# => (x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 …. 2 #

Згідно з 2 і 1 отримаємо

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36

# => (6y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => y ^ 2-5y + 6.25 = 4.8 ^ 2 #

# => (y-2.5) ^ 2 = 4.8 ^ 2 #

# => y = 2.5pm4.8 #

Тому # y = 7.3 і y = -2.3 #

коли # y = 7.3 #

# x = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

коли # y = -2,3 #

# x = (9 + 6xx (-2,3)) / 8 = -0,6 #

Тому координати третьої точки будуть

# (6.6.7.3) до "Q у малюнку" #

АБО

# (- 0,6, -2,3) до "S на рисунку" #

Рівнобедрений трикутник має сторони A, B і C, причому сторони B і C мають однакову довжину. Якщо сторона A переходить від (7, 1) до (2, 9) і площа трикутника дорівнює 32, які можливі координати третього кута трикутника?

(1825/178, 765/89) або (-223/178, 125/89) Позначаємо в стандартній нотації: b = c, A (x, y), B (7,1), C (2,9) . У нас є текст {area} = 32. Основою нашого рівнобедреного трикутника є БК. Ми маємо a = | BC | = sqrt {5 ^ 2 + 8 ^ 2} = sqrt {89} Середина BC - D = ((7 + 2) / 2, (1 + 9) / 2) = (9/2, 5). Перпендикулярна бісектриса БК проходить через D і вершину A. h = AD - висота, яку ми отримуємо від площі: 32 = frac 1 2 ah = 1/2 sqrt {89} hh = 64 / sqrt {89} вектор спрямованості від B до C є CB = (2-7,9-1) = (- 5,8). Вектор спрямованості його перпендикулярів дорівнює P = (8,5), міняючи координати і заперечуючи один. Його величин

Трикутник має сторони A, B і C. Кут між сторонами A і B дорівнює (5pi) / 6, а кут між сторонами B і C - pi / 12. Якщо сторона B має довжину 1, то яка площа трикутника?

Сума кутів дає рівнобедрений трикутник. Половина вхідної сторони обчислюється з cos, а висота від гріха. Площа знайдена так само, як квадрат (два трикутники). Площа = 1/4 Сума всіх трикутників в градусах становить 180 ^ o в градусах або π в радіанах. Отже: a + b + c = π π / 12 + x + (5π) / 6 = π x = π-π / 12- (5π) / 6 x = (12π) / 12-π / 12- (10π) / 12 x = π / 12 Зауважимо, що кути a = b. Це означає, що трикутник є рівнобедреним, що призводить до B = A = 1. Наступне зображення показує, як можна обчислити висоту, протилежну c: Для кута b: sin15 ^ o = h / A h = A * sin15 h = sin15 Для обчислення половини C: cos15 ^ o = (C / 2

Паралелограмма має сторони A, B, C і D. Сторони A і B мають довжину 3, а сторони C і D мають довжину 7. Якщо кут між сторонами A і C дорівнює (7 pi) / 12, то яка площа паралелограма?

20,28 квадратних одиниць Площа паралелограма задається добутку суміжних сторін, помножених на синус кута між сторонами. Тут дві суміжні сторони 7 і 3, а кут між ними 7 pi / 12 Тепер Sin 7 pi / 12 radians = sin 105 градусів = 0.965925826 Підставляючи, A = 7 * 3 * 0.965925826 = 20.28444 кв.