Чи відрізняється x ^ 12-y ^ 12 двома квадратами або різницею двох кубів?

Це може бути і те й інше.

Ви можете використовувати властивості експоненціальних повноважень, щоб написати ці терміни як як різницю квадратів, так і як різницю кубів.

З # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #Ви можете це сказати

# x ^ (12) = x ^ (6 * колір (червоний) (2)) = (x ^ (6)) ^ (колір (червоний) (2)) #

і

# y ^ (12) = (y ^ (6)) ^ (колір (червоний) (2) #

Це означає, що ви отримаєте

# x ^ (12) - y ^ (12) = (x ^ (6)) ^ (2) - (y ^ (6)) ^ (2) = (x ^ (6) - y ^ (6)) (x ^ (6) + y ^ (6)) #

Так само, # x ^ (12) = x ^ (4 * колір (червоний) (3)) = (x ^ (4)) ^ (колір (червоний) (3)) # і # y ^ (12) = (y ^ (4)) ^ (колір (червоний) (3)) #

Так можна написати

# x ^ (12) - y ^ (12) = (x ^ (4)) ^ (3) - (y ^ (4)) ^ (3) = (x ^ 4 - y ^ 4) (x ^ (4)) ^ 2 + x ^ (4) y ^ (4) + (y ^ 4) ^ (2) #

# x ^ 12 - y ^ 12 = (x ^ 4 - y ^ 4) x ^ 8 + x ^ (4) y ^ 4 + y ^ 8 #

Як ви можете бачити, ви можете ще більше спростити ці вирази. Ось як ви можете повністю оцінити цей вираз

# x ^ (12) - y ^ (12) = underbrace ((x ^ 6 - y ^ 6)) _ (колір (зелений) ("різниця двох квадратів")) * underbrace ((x ^ 6 + y ^) 6)) _ (колір (синій) ("сума двох кубів")) = #

# = underbrace ((x ^ 3 - y ^ 3)) _ (колір (зелений) ("різниця двох кубів")) * underbrace ((x ^ 3 + y ^ 3)) _ (колір (синій) (" сума двох кубів ")) * (x ^ 2 + y ^ 2) (x ^ 4 + x ^ 2 * y ^ 2 + y ^ 4) = #

# = (x + y) (x ^ 2 -xy + y ^ 2) * (xy) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) * (x ^ 2 + y ^ 2) (x ^ 4 + x ^ 2 * y ^ 2 + y ^ 4) #

# x ^ 12 - y ^ 12 = (x + y) (xy) (x ^ 2 + y ^ 2) (x ^ 2 - xy + y ^ 2) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) (x ^ 4 + x ^ 2 y ^ 2 + y ^ 2) #