Який логарифм негативного числа?

Логарифми негативних чисел не визначаються в дійсних числах, так само, як квадратні корені негативних чисел не визначаються в дійсних числах. Якщо очікується, що ви знайдете лог негативного числа, відповіді "undefined" достатньо в більшості випадків.

Це є можливо оцінити одне, однак відповідь буде комплексною. (номер форми #a + bi #, де #i = sqrt (-1) #)

Якщо ви знайомі з складними номерами і комфортно працюєте з ними, то читайте далі.

По-перше, почнемо з загального випадку:

#log_b (-x) =? #

Ми скористаємося правилом зміни бази даних та перетворимо на природні логарифми, щоб пізніше зробити це легше:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Зверніть увагу на це #ln (-x) # це те ж саме, що і #ln (-1 * x) #. Ми можемо використовувати властивість додавання логарифмів і розділити цю частину на два окремі журнали:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Тепер єдина проблема - з'ясувати, що #ln (-1) # є. Спочатку це може виглядати неможливою оцінкою, але існує досить відоме рівняння, відоме як Ідентифікація Ейлера, яке може допомогти нам.

Стан Ейлера:

# e ^ (ipi) = -1 #

Цей результат походить від розширень силових рядів синусів і косинуса. (Я не буду пояснювати це занадто глибоко, але якщо ви зацікавлені, тут є хороша сторінка, яка пояснює трохи більше)

А тепер давайте просто візьмемо природний журнал обох сторін ідентичності Ейлера:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

Спрощене:

#ipi = ln (-1) #

Отже, тепер ми знаємо що #ln (-1) # є, ми можемо замінити назад у наше рівняння:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Тепер у вас є формула для пошуку журналів негативних чисел. Отже, якщо ми хочемо оцінити щось подібне # log_2 10 #, ми можемо просто підключити декілька значень:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #