Коло А має центр (3, 5) і площу 78 п. Коло B має центр (1, 2) і площу 54 pi. Чи перетинаються кола?

Відповідь:

Так

Пояснення:

По-перше, нам потрібна відстань між двома центрами, яка є # D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 #

Тепер нам потрібна сума радіусів, оскільки:

#D> (r_1 + r_2); "Кола не перекриваються" #

# D = (r_1 + r_2); "Кола просто доторкаються" #

#D <(r_1 + r_2); "Кола перекриваються" #

# pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# r_1 "" ^ 2 = 78 #

# r_1 = sqrt78 #

# pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# r_2 "" ^ 2 = 54 #

# r_2 = sqrt54 #

# sqrt78 + sqrt54 = 16,2 #

#16.2>3.61#, так що колу перекриваються.

Доказ:

граф {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36, 12.64}

Відповідь:

Вони накладаються, якщо #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}.

Ми можемо пропустити калькулятор і перевірити # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # або #4(13)(54) > 11^2# що це, звичайно, так, так, перекриваються.

Пояснення:

Звичайно, область кола #pi r ^ 2 # тому ми розділяємо безоплатне # pi #s.

Ми маємо квадрат радіусів

# r_1 ^ 2 = 78 #

# r_2 ^ 2 = 54 #

і квадратичне відстань між центрами

# d ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

В основному ми хочемо знати, якщо # r_1 + r_2 ge d #якщо ми можемо зробити трикутник із двох радіусів і відрізок між центрами.

Квадратні довжини - це цілі чисті числа, і це дуже божевільно, що всі ми інстинктивно тягнемося за калькулятором або комп'ютером і починаємо приймати квадратні коріння.

Ми не повинні, але це вимагає невеликого обходу. Давайте скористаємося формулою Герона, назвемо область # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # де # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((+ b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Це вже краще, ніж Heron. Але ми продовжуємо. Я пропущу якусь нудьгу.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Це добре симетрично, як і очікувалося б у формулі області. Давайте зробимо його менш симетричним. Нагадаємо

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

Додавання, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

Це формула для квадрата площі трикутника з урахуванням квадратів довжин сторін. Коли останні є раціональними, так само й перше.

Давайте спробуємо. Ми вільні призначати сторонам, як нам подобається; для ручного розрахунку краще всього зробити # c # найбільша сторона, # c ^ 2 = 78 #

# a ^ 2 = 54 #

# b ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Навіть перед тим, як розрахувати його, ми бачимо, що у нас є позитив # 16Q ^ 2 # тому реальний трикутник з позитивною областю, тому перекриваються колами.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Якщо ми отримали негативне значення, уявну область, це не справжній трикутник, тому не перекриваються кола.