Коло А має центр (6, 5) і площу 6 пі. Коло B має центр у (12, 7) і площу 48 pi. Чи перетинаються кола?

Відповідь:

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 і

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

ми можемо зробити справжній трикутник з квадратами 48, 6 і 40, так що ці кола перетинаються.

Пояснення:

Чому безоплатно # pi #?

Район є #A = pi r ^ 2 # тому # r ^ 2 = A / pi. Отже, перше коло має радіус # r_1 = sqrt {6} # і другий # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Центри є #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # окремо.

Отже, кола накладаються, якщо #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

Це настільки некрасиво, що ви простили б за те, щоб дістатися до калькулятора. Але це дійсно не потрібно. Давайте зробимо обхід і подивимося, як це робиться за допомогою Rational Trigonometry. Там ми тільки займаємося квадратними довжинами, які називаються чотирикутників.

Припустимо, ми хочемо перевірити, якщо три квадратики # A, B, C # є квадратами між трьома колінеарними точками, тобто #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # або #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # або #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. Ми напишемо це як

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

Квадрат, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Знову виконується квадрат

# (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Виявляється

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

є дискримінант для трикутників. Ми тільки показали якщо #mathcal {A} = 0 # це означає, що ми маємо a вироджений трикутник, формується з трьох колінеарних точок. Якщо #mathcal {A}> 0 # тоді ми маємо a реальний трикутник, кожна сторона менше суми двох інших. Якщо #mathcal {A} <0 # ми не маємо сторін, які задовольняють нерівність трикутника, і ми іноді називаємо це уявний трикутник.

Давайте повернемося до нашого питання, озброєного нашим новим дискримінантним трикутником #mathcal {A} #. Якщо кола перетинаються, ми можемо зробити трикутник двох центрів і перетин, тому сторони будуть мати довжини # r_1 #, # r_2 #і відстань між центрами #(6,5)# і #(12,7)#. Ми маємо

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # тому ми маємо реальний трикутник, тобто перекриваються кола.

Ах, так, для будь-якого трикутника #mathcal {A} = 16 (текст {область}) ^ 2. #

Перевірте: Альфа

Коло А має центр (12, 9) і площу 25 п. Коло B має центр (3, 1) і площу 64 pi. Чи перетинаються кола?

Так Спочатку треба знайти відстань між центрами двох кіл. Це пояснюється тим, що ця відстань є тією, де кола будуть найближчі один до одного, тому, якщо вони перекриваються, це буде уздовж цієї лінії. Щоб знайти цю відстань, можна використати формулу відстані: d = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) d = sqrt ((12-3) ^ 2 + (9-1) ^ 2 ) = sqrt (81 + 64) = sqrt (145) ~~ 12.04 Тепер треба знайти радіус кожного кола. Ми знаємо, що область кола є pir ^ 2, тому ми можемо використовувати її для вирішення для r. pi (r_1) ^ 2 = 25pi (r_1) ^ 2 = 25 r_1 = 5 pi (r_2) ^ 2 = 64pi (r_2) ^ 2 = 64 r_2 = 8 Нарешті ми разом додаємо ці два рад

Коло А має центр (3, 5) і площу 78 п. Коло B має центр (1, 2) і площу 54 pi. Чи перетинаються кола?

Так По-перше, нам потрібна відстань між двома центрами, яка є D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 Тепер нам потрібна сума радіусів, оскільки: D> (r_1 + r_2); "Круги не перекриваються" D = (r_1 + r_2); "Кола просто торкаються" D <(r_1 + r_2); "Кола перекриваються" pir_1 "" ^ 2 = 78pi r_1 "" ^ 2 = 78 r_1 = sqrt78 pir_2 "" ^ 2 = 54pi r_2 "" ^ 2 = 54 r_2 = sqrt54 sqrt78 + sqrt54 = 16.2 16.2> 3.61, так що круги перекриваються. Доказ: граф {((x-3) ^ 2 + (y-5)

Коло А має центр (1, 5) і площу 24 п. Коло B має центр (8, 4) і площу 66 pi. Чи перетинаються кола?

Так, круги перекриваються. Відстань від центру кола A до центру кола B = 5sqrt2 = 7.071 Сума їх радіусів = sqrt66 + sqrt24 = 13.023 Бог благословить .... Сподіваюся, пояснення корисне ..