Як розділити (i + 8) / (3i -1) в тригонометричній формі?

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Перш за все, ми повинні перетворити ці два числа в тригонометричні форми.

Якщо # (a + ib) # - комплексне число, # u # є його величина і # alpha # є його кут тоді # (a + ib) # У тригонометричній формі записується як #u (cosalpha + isinalpha) #.

Величина комплексного числа # (a + ib) # дається#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # і його кут дається # tan ^ -1 (б / а) #

Дозволяє # r # бути величиною # (8 + i) # і # theta # бути його кутом.

Величина # (8 + i) = sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt65 = r #

Кут # (8 + i) = Тан ^ -1 (1/8) = тета #

#implies (8 + i) = r (Costheta + isintheta) #

Дозволяє # s # бути величиною # (- 1 + 3i) # і # phi # бути його кутом.

Величина # (- 1 + 3i) = sqrt ((- 1) ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt (1 + 9) = sqrt10 = s #

Кут # (- 1 + 3i) = Тан ^ -1 (3 / -1) = Тан ^ -1 (-3) = phi #

#implies (-1 + 3i) = s (Cosphi + isinphi) #

Тепер,

# (8 + i) / (- 1 + 3i) #

# = (r (Costheta + isintheta)) / (s (Cosphi + isinphi)) #

# = r / s * (Costheta + isintheta) / (Cosphi + isinphi) * (Cosphi-isinphi) / (Cosphi-isinphi)

# = r / s * (костекафосфіт + інтетакосфі-ікостезаінфі-і ^ 2синтетасинфі) / (cos ^ 2phi-i ^ 2sin ^ 2phi) #

# = r / s * ((костекафоссі + синтетасинфі) + i (sinthetacosphi-costhetasinphi)) / (cos ^ 2phi + sin ^ 2phi) #

# = r / s * (cos (тета-фі) + isin (тета-фі)) / (1) #

# = r / s (cos (тета-фі) + isin (тета-фі)) #

Тут ми маємо кожну річ присутній, але якщо тут безпосередньо замінити значення, слово буде брудним для пошуку #theta -phi # так що давайте спочатку дізнаємося # theta-phi #.

# theta-phi = tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) #

Ми знаємо, що:

# tan ^ -1 (a) -tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a-b) / (1 + ab)) #

#implies tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) = tan ^ -1 (((1/8) - (- 3)) / (1+ (1/8) (- 3)))) #

# = tan ^ -1 ((1 + 24) / (8-3)) = tan ^ -1 (25/5) = tan ^ -1 (5) #

#implies тета -phi = tan ^ -1 (5) #

# r / s (cos (тета-фі) + isin (тета-фі)) #

# = sqrt65 / sqrt10 (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = sqrt (65/10) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = sqrt (13/2) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

Це ваша остаточна відповідь.

Ви також можете зробити це іншим методом.

По-перше, розділяючи комплексні числа, а потім змінюючи його на тригонометричну форму, що набагато простіше, ніж це.

Перш за все спростимо дане число

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Помножити і розділити на спряжений складний номер, присутній у знаменнику, тобто # -1-3i #.

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = ((8 + i) (- 1-3i)) / ((- 1 + 3i) (- 1-3i)) = (- 8-24i-i) -3i ^ 2) / ((- 1) ^ 2- (3i) ^ 2) #

# = (- 8-25i + 3) / (1 - (- 9)) = (- 5-25i) / (1 + 9) = (- 5-25i) / 10 = -5 / 10- (25i) / 10 = -1 / 2- (5i) / 2 #

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = - 1 / 2- (5i) / 2 #

Дозволяє # t # бути величиною # (1 / 10- (5i) / 2) # і # beta # бути його кутом.

Величина # (- 1 / 2- (5i) / 2) = sqrt ((- 1/2) ^ 2 + (- 5/2) ^ 2) = sqrt (1/4 + 25/4) = sqrt (26 / 4) = sqrt (13/2) = t #

Кут # (- 1 / 2- (5i) / 2) = Тан ^ -1 ((- 5/2) / (- 1/2)) = tan ^ -1 (5) = бета #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = t (Cosbeta + isinbeta) #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = sqrt (13/2) (Cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #.