Як ви оцінюєте інтеграл з int (dt) / (t-4) ^ 2 від 1 до 5?

Відповідь:

Замінити # x = t-4 #

Відповідь є, якщо вас попросили просто знайти інтеграл:

#-4/3#

Якщо ви шукаєте область, це не так просто, хоча.

Пояснення:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

Встановити:

# t-4 = x #

Тому диференціал:

# (d (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# dt = dx #

І межі:

# x_1 = t_1-4 = 1-4 = -3

# x_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Тепер замініть ці три знайдені значення:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1dx / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

ПРИМІТКА: НЕ ПРОЧИТАЙТЕ ЦЕ, ЯКЩО ВИ НЕ БУДЕ НАВЕДЕНА, ЯК ЗНАЙТИ ЗОНУ. Хоча це має фактично являти собою область між двома межами, і оскільки вона завжди позитивна, вона повинна була бути позитивною. Однак ця функція є не безперервний в # x = 4 # так що цей інтеграл не представляє області, якщо це те, що ви хотіли. Це трохи складніше.

Відповідь:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Пояснення:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Відповідь:

Залежно від того, скільки інтеграції ви дізналися, "найкраща" відповідь буде або: "інтеграл не визначено" (ще) або "інтеграл розходиться"

Пояснення:

Коли ми намагаємося оцінити # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, ми повинні перевірити, що подинтеграл визначається на інтервалі, на якому ми інтегруємося.

# 1 / (x-4) ^ 2 # не визначено в #4#, так воно і є ні визначається на весь інтервал #1,5#.

На початку дослідження обчислення, ми визначаємо інтеграл, починаючи з

"Дозволяє # f # визначати на інтервалі # a, b #… '

Отже, на початку нашого дослідження найкраща відповідь

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# не визначено (ще?)

Пізніше ми розширимо визначення до того, що називають "невідповідними інтегралами"

До них відносяться інтеграли на необмежених інтервалах (# (- oo, b) #, # a, oo) # і # (- oo, oo) #) а також інтервали, на яких подинтегральна точка має точки, де вона не визначена.

Щоб (спробувати) оцінити # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, ми оцінюємо два невідповідних інтеграли # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Зауважте, що на цих підінтеграціях ще не визначено зачинено інтервали.)

Метод полягає в тому, щоб замінити точку, де непідписаний інтегрант за допомогою змінної, а потім взяти межу, оскільки ця змінна наближається до числа.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Знайдемо перший інтеграл:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Шукаю ліміт як # brarr4 ^ - #Ми бачимо, що межі не існує. (As # brarr4 ^ - #, значення # -1 / (b-4) # зростає без обмежень.)

Тому інтеграл закінчився #1,4# не існує, так що інтеграл закінчений #1,5# не існує.

Ми говоримо, що інтеграл розходиться.

Примітка

Дехто скаже: ми тепер маємо визначення інтеграла, просто не буває будь-якого числа, що задовольняє цьому визначенню.