Як ви оцінюєте визначений інтеграл int ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 dx від [3,9]?

Відповідь:

# int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx = #

# 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 = 0.7606505661495 #

Пояснення:

З даного, # int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx #

Почнемо з спрощення першого інтегранта

# int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx #

# int_3 ^ 9 ((sqrtx) / (4sqrtx) + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx #

# int_3 ^ 9 (1/4 + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx #

# int_3 ^ 9 (1/4) ^ 2 * (1 + 1 / (sqrtx)) ^ 2 * dx #

# int_3 ^ 9 (1/16) * (1 + 2 / (sqrtx) + 1 / x) dx #

# (1/16) * int_3 ^ 9 (1 + 2 * x ^ (- 1/2) + 1 / x) dx #

# (1/16) * x + (2 * x ^ (1/2)) / (1/2) + ln x _3 ^ 9 #

# (1/16) * x + 4 * x ^ (1/2) + ln x _3 ^ 9 #

# (1/16) * (9 + 4 * 9 ^ (1/2) + ln 9) - (3 + 4 * 3 ^ (1/2) + ln 3) #

# (1/16) * 9 + 12 + ln 9-3-4sqrt3-ln 3 #

# (1/16) (18-4sqrt3 + ln 3) #

# 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 #

#0.7606505661495#

Благослови Бог …. Сподіваюся, пояснення корисне.

Як ви оцінюєте визначений інтеграл int (2t-1) ^ 2 [0,1]?

1/3 int_0 ^ 1 (2t-1) ^ 2dt Нехай u = 2t-1 означає du = 2dt, тому dt = (du) / 2 Перетворюючи межі: t: 0rarr1 має на увазі u: -1rarr1 Інтеграл стає: 1 / 2int_ ( -1) ^ 1u ^ 2du = 1/2 [1 / 3u ^ 3] _ (- 1) ^ 1 = 1/6 [1 - (-1)] = 1/3

Як ви оцінюєте визначений інтеграл int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) від [0, pi / 4]?

Pi / 4 Зверніть увагу, що з другої піфагорейської ідентичності 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x Це означає, що частка дорівнює 1 і це залишає нам досить простий інтеграл int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4

Як ви оцінюєте визначений інтеграл int sin2theta від [0, pi / 6]?

Int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 int_0 ^ (pi / 6) sin (2theta) d theta - колір (червоний) (u = 2theta) колір (червоний) (du = 2d тета) колір (червоний) d theta = (du) / 2) Межі змінюються на колір (синій) ([0, pi / 3]) int_0 ^ (pi / 6) sin2thetad theta = int_color (синій) 0 ^ колір (синій) (pi / 3) sincolor (червоний) (u (du) / 2) = 1 / 2int_0 ^ (pi / 3) sinudu Як відомо, інтінкс = -cosx = -1 / 2 (cos (pi / 3) -cos0) = -1 / 2 (1 / 2-1) = - 1/2 * -1 / 2 = 1/4, тому int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4