Як ви оцінюєте визначений інтеграл int sin2theta від [0, pi / 6]?

Відповідь:

# int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 #

Пояснення:

# int_0 ^ (pi / 6) sin (2тета) d тета #

дозволяє

#color (червоний) (u = 2theta) #

#color (червоний) (du = 2d тета) #

#color (червоний) (d theta = (du) / 2) #

Межі змінюються на #color (синій) (0, pi / 3) #

# int_0 ^ (pi / 6) sin2thetad theta #

# = int_color (синій) 0 ^ колір (синій) (pi / 3) sincolor (червоний) (u (du) / 2) #

# = 1 / 2int_0 ^ (pi / 3) sinudu #

Як ми знаємо# intsinx = -cosx #

# = - 1/2 (cos (pi / 3) -cos0) #

#=-1/2(1/2-1)=-1/2*-1/2=1/4#

отже,# int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 #

Як ви оцінюєте визначений інтеграл int ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 dx від [3,9]?

Int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx = 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 = 0.7606505661495 З даного, int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / ( 4sqrtx)) ^ 2 * dx Почнемо з спрощення першого інтегранта int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 ((sqrtx) / (4sqrtx) + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4 + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4) ^ 2 * (1 + 1 / (sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 ( 1/16) * (1 + 2 / (sqrtx) + 1 / x) dx (1/16) * int_3 ^ 9 (1 + 2 * x ^ (- 1/2) + 1 / x) dx (1 / 16) * [x + (2 * x ^ (1/2)) / (1/2) + ln x] _3 ^ 9 (1/16) * [x + 4 * x ^ (1/2) + ln x ] _3 ^ 9 (1/16) * [(9 + 4 * 9 ^ (1/2) + ln 9) - (3 + 4 * 3 ^ (1/2

Як ви оцінюєте визначений інтеграл int (2t-1) ^ 2 [0,1]?

1/3 int_0 ^ 1 (2t-1) ^ 2dt Нехай u = 2t-1 означає du = 2dt, тому dt = (du) / 2 Перетворюючи межі: t: 0rarr1 має на увазі u: -1rarr1 Інтеграл стає: 1 / 2int_ ( -1) ^ 1u ^ 2du = 1/2 [1 / 3u ^ 3] _ (- 1) ^ 1 = 1/6 [1 - (-1)] = 1/3

Як ви оцінюєте визначений інтеграл int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) від [0, pi / 4]?

Pi / 4 Зверніть увагу, що з другої піфагорейської ідентичності 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x Це означає, що частка дорівнює 1 і це залишає нам досить простий інтеграл int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4