Детальніше про механіку?

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

Ми будемо використовувати так звану формулу Ейлера Лагранжа

# d / dt ((часткова L) / (часткова точка q_i)) - (часткова L) / (часткова q_i) = Q_i #

де #L = T-V #. У цій вправі ми маємо # V = 0 # тому #L = T #

Виклик # x_a # центр лівої координати циліндра і # x_b # правий, у нас є

# x_b = x_a + R costheta + Lcosalpha #

Тут # sinalpha = R / Lsintheta # так підставляючи # alpha #

# x_b = x_a-R costheta + sqrt L ^ 2 - R ^ 2 sin ^ 2theta #

тепер випливає

#dot x_b = крапка x_a + Rsin (тета) точка тета - ((R ^ 2cos (тета) sin (тета)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (тета))) крапка тета #

але

# T = 1/2 J (omega_a ^ 2 + omega_b ^ 2) + 1 / 2m (v_a ^ 2 + v_b ^ 2) #

Тут # J # імпульс інерції відносно центру мас. Також,

# v_a = крапка x_a = R точка theta #

#omega_a = крапка тета #

так, після заміни і покликання #xi (theta) = 1- (Rcos (тета)) / sqrt (L ^ 2-R ^ 2sin ^ 2 (тета)) # ми маємо

# T = 1/2 (J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (тета) xi (тета)) ^ 2) крапка тета ^ 2 #

Ми вибрали # theta # як узагальнена координата. Тому ми скоротимо # F # приведення в дію в координаті # x # до еквівалентної сили в # theta #. Ця координата діє на прокатки, тому нам потрібен узагальнений імпульс щодо точки контакту в підлозі, яка є

#Q_ (theta) = FR (1+ sintheta) #

Рівняння руху отримані після

# (J + mR ^ 2) ((1 + sin (тета) xi (тета)) (cos (тета) xi (тета) + sin (тета) xi '(тета)) точка тета ^ 2 + (1+ (1 + sin (тета) xi (тета)) 2) ddot theta) = FR (1 + sin (тета)) # тепер вирішується для #ddot theta #

# ddottheta = (FR (1 + sin (тета)) - (J + mR ^ 2) (1 + sin (тета) xi (тета)) (cos (тета) xi (тета) + sin (тета) xi '(тета)) dottheta ^ 2) / ((J + mR ^ 2) (1+ (1 + sin (тета) xi (тета)) ^ 2)) #

Прикріплені дві ділянки. Перші шоу # theta # еволюція і друга для # dottheta #

Значення параметрів:

# R = 0,5, J = 1, m = 1, L = 2 # Прикладена сила показана в червоному кольорі.