Що таке конкретне рішення диференціального рівняння (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) та u (0) = - 5?

Відповідь:

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 #

Пояснення:

# (du) / dt = (2t + sec ^ 2t) / (2u) #

# 2u (du) / dt = 2t + sec ^ 2t #

#int du qquad 2 u = int dt qquad 2t + sec ^ 2t #

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + C #

застосування IV

# (- 5) ^ 2 = 2 (0) + загар (0) + C #

#implies C = 25 #

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan t + 25 #

Відповідь:

# u ^ 2 = t ^ 2 + tant + 25 #

Пояснення:

Почніть з множення обох сторін на # 2u # і # dt # розділити диференціальне рівняння:

# 2udu = 2т + сек ^ 2тдт #

Тепер інтегруйте:

# int2udu = int2t + sec ^ 2tdt #

Ці інтеграли не надто складні, але якщо у вас є якісь питання, не варто боятися запитати. Вони оцінюються на:

# u ^ 2 + C = t ^ 2 + C + tan t + C #

Ми можемо об'єднати всі # C #s щоб зробити одну загальну константу:

# u ^ 2 = t ^ 2 + tant + C #

Нам дається початковий стан #u (0) = - 5 # тому:

# (- 5) ^ 2 = (0) ^ 2 + tan (0) + C #

# 25 = C #

Таким чином, рішення є # u ^ 2 = t ^ 2 + tant + 25 #

Відповідь:

#u (t) = -sqrt (t ^ 2 + tan (t) +25) #

Пояснення:

Групування змінних

# 2 u du = (2t + sec ^ 2 (t)) dt #

Інтеграція обох сторін

# u ^ 2 = t ^ 2 + tan (t) + C #

#u (t) = pm sqrt (t ^ 2 + tan (t) + C) #

але з урахуванням початкових умов

#u (0) = -sqrt (C) = -5-> C = 25 #

і, нарешті

#u (t) = -sqrt (t ^ 2 + tan (t) +25) #