Як диференціювати y = cos (cos (cos (x)))?

Відповідь:

# dy / dx = -sin (cos (cos (x))) sin (cos (x)) sin (x) #

Пояснення:

Це проблема, яка спочатку є складною, але насправді, з розумінням правила ланцюга, вона досить проста.

Ми знаємо, що для функції функції на зразок #f (g (x)) #, правило ланцюга говорить нам, що:

# d / dy f (g (x)) = f '(g (x) g' (x) #

Застосовуючи це правило тричі, ми можемо визначити загальне правило для будь-якої функції, подібної цій, де #f (g (h (x))) #:

# d / dy f (g (h (x))) = f '(g (h (x))) g' (h (x)) h '(x) #

Таким чином, застосовуючи це правило, враховуючи, що:

#f (x) = g (x) = h (x) = cos (x) #

таким чином

#f '(x) = g (x) = h (x) = -sin (x) #

дає відповідь:

# dy / dx = -sin (cos (cos (x))) sin (cos (x)) sin (x) #

Диференціювати cos (x ^ 2 + 1), використовуючи перший принцип похідної?

-sin (x ^ 2 + 1) * 2x d / dx cos (x ^ 2 + 1) Для цієї задачі необхідно використовувати правило ланцюга, а також те, що похідна cos (u) = -sin ( u). Правило ланцюга в основному просто стверджує, що ви можете спочатку вивести зовнішню функцію по відношенню до того, що знаходиться всередині функції, а потім помножити її на похідну функції, що знаходиться всередині функції. Формально dy / dx = dy / (du) * (du) / dx, де u = x ^ 2 + 1. По-перше, треба виробити похідну біта всередині косинуса, а саме 2x. Потім, знайшовши похідну косинуса (негативного синуса), ми можемо просто помножити його на 2х. = -sin (x ^ 2 + 1) * 2x

Як диференціювати amd спростити: ln (cosh (ln x) cos (x))?

Dy / dx = tanh (lnx) / x - tanx Мені подобається задавати задачу рівною y, якщо її ще не було. Також допоможе наш випадок переписати проблему за допомогою властивостей логарифмів; y = ln (cosh (lnx)) + ln (cosx) Тепер ми робимо дві заміни, щоб полегшити прочитання проблеми; Скажімо, w = cosh (lnx) і u = cosx зараз; y = ln (w) + ln (u) ahh, ми можемо працювати з цим :) Візьмемо похідну по x з обох сторін. (Оскільки жодна з наших змінних не є x, це буде неявним диференціацією) d / dx * y = d / dx * ln (w) + d / dx * ln (u) Ну, ми знаємо, що похідна lnx має бути 1 / x і використовуючи ланцюгове правило, яке ми отримуємо; dy /

Як диференціювати sqrt (cos (x ^ 2 + 2)) + sqrt (cos ^ 2x + 2)?

(dy) / (dx) = (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2)) / (sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy ) / (dx) = 1 / (2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) * sen (x ^ 2 + 2) * 2x + 2 (x + 2) (dy ) / (dx) = (2хсек (x ^ 2 + 2) + 2см (х + 2)) / (2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy) / (dx) = (cancel2 (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2))) / (cancel2sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2))) (dy) / (dx) = (xsen (x ^ 2 + 2) + sen (x + 2)) / (sqrtcos (x ^ 2 + 2) + sqrt (cos ^ 2 (x + 2)))