Доведіть, що число sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) не є раціональним для будь-якого натурального числа n більше 1?

Відповідь:

Див. Пояснення …

Пояснення:

Припустимо:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # є раціональним

Тоді його квадрат повинен бути раціональним, тобто:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

і, отже, так:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Ми можемо неодноразово квадратувати і віднімати, щоб виявити, що наступне має бути раціональним:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Звідси # n = k ^ 2 # для деякого натурального числа #k> 1 # і:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Зауважте, що:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Звідси # k ^ 2 + k-1 # не є квадратом цілого числа і #sqrt (k ^ 2 + k-1) # є ірраціональним, що суперечить нашому твердженню, що #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # є раціональним.

Відповідь:

Дивись нижче.

Пояснення:

Припускаючи

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # с # p / q # не редукційні ми маємо

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

що є абсурдним, оскільки відповідно до цього результату будь-який квадратний корінь позитивного цілого числа є раціональним.